— 先問一個更本質的問題：當電流建立磁場時，能量到底被放到哪裡去了？搞懂這個，你就會懂電感。你每畫一條回流路徑、每改一次迴路面積、每換一次磁芯材料，都在改 L。
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🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：① 用一句話說清楚：L 不是線圈本體，而是空間磁場的「存能能力」
② 串起三條等價定義：λ = NΦ、L = dλ/dI、Wₘ = ½·L·I²
③ 用場論語言說出來源：uₘ = ½·B·H → Wₘ = ∭uₘ dV → L = 2Wₘ/I²
④ 用磁路模型落地：L = N²/ℜ、ℜ = l/(μA)
⑤ 判斷飽和/氣隙對 L 的影響（為什麼會掉、為什麼更線性）
⑥ 用 V = L·di/dt 快估高速瞬態（nH 也能炸出幾 V）
⑦ 連到衛星×光通訊：寄生 L、回流、迴路面積如何影響 BER/抖動/噪聲底
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🧭 一、定位：電感不是「線圈」，電感是「磁能倉庫」
• 電感 L：描述「電流變動時，需要多少電壓才能推動它」 • 磁能 Wₘ：描述「電流建立磁場時，能量暫存在哪裡」
✅ 一句話：電感的本質 = 把電能暫存成磁場能量。
【圖｜電感＝空間裡的磁能倉庫】
電流把能量搬進磁場（改回流/面積/材料＝改倉庫大小）
你看到的不是「線圈」
而是「空間裡的磁場能量分佈」
I(t) ──▶ 〔 L 〕 ──▶ 磁場能量 Wₘ
│ │
│ └─ 你改：μ、A、l、氣隙、回流路徑、迴路面積
└──── 其實是在改：磁場在哪裡、存多少、漏到哪裡
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⚡ 二、為什麼會有 V = L·di/dt？（先拿直覺）
當電流變動 → 磁場也變 → 磁通 Φ 變動 → 產生感應電壓（法拉第定律的影子）： • I ↑ → Φ ↑ • Φ 在變 → 產生感應電壓來「反對改變」
因此你看到：電感抗拒電流變化（反電動勢）。
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🧮 數學補強 A｜從磁通鏈結到 L：L 是 λ–I 的斜率
定義： • λ = NΦ（磁通鏈結）
線性區：
• λ = L·I
一般式：
• L = dλ/dI
✅ 工程直覺：L 是「你推一點電流，磁通鏈結增加多少」的比例。
接近飽和時 dλ/dI 下降 → L 會掉。
【圖｜λ–I 斜率 = L（飽和時 L 會掉）】
λ（磁通鏈結）
↑
│ 線性區：斜率固定 → L 固定
│ ／
│ ／
│ ／
│______/________________________→ I
↑
接近飽和：斜率變小（dλ/dI ↓）→ L 掉
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🔋 三、場論來源：磁能密度 uₘ 在空間的積分
線性介質的磁能密度： • uₘ = ½·B·H
總磁能（把空間的能量密度積起來）：
• Wₘ = ∭ uₘ dV
工程上又有：
• Wₘ = ½·L·I²
✅ 對照後得到：
• L 是把「空間磁場能量」換算成 I² 的比例常數。
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🧮 數學補強 B｜由能量推出 L
由 Wₘ = ½·L·I² ⇒ L = 2Wₘ / I²
✅ 工程直覺：同樣 I，若幾何/磁芯讓 Wₘ 更大（更能存），L 就更大。
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🗺️ 四、為什麼 L 跟幾何/回路/材料綁死？
① 迴路面積 A ↑ → 磁場分佈更外擴 → 等效 L 常上升，但 EMI 風險也上升
直覺：迴路越大 → 磁場「泡泡」越大 → 空間裡存的磁能越多。 ✅ 翻譯：你改的是「磁能存放的空間範圍」。
② 加磁芯（μ ↑）→ 磁通更集中、磁路更好 → L 提升
• λ = NΦ 變大 → L 變大 但注意： • 飽和會讓大電流時 L 崩掉 • 磁芯損耗會把 Wₘ 變成熱
③ 氣隙不是缺陷，是工程用來「鎖定 L、抗飽和、提線性」的手段
氣隙使總磁阻 ℜ 上升 → 等效 μ 下降。 直覺：把能量更多存到「氣隙（空氣）的場」而不是磁芯。 好處： • 抗飽和（不那麼逼近磁芯 B_sat） • L 對電流更線性、更可控 代價： • L 變小（常需更多匝數或更大體積）
【圖｜磁能存哪：磁芯 vs 氣隙】
(1) 沒氣隙：能量集中在磁芯 → 容易逼近 B_sat
┌─────────磁芯─────────┐
│ B 很集中（↑↑↑↑↑） │
└──────────────────────┘
(2) 有氣隙：能量搬到氣隙的「場」→ 更線性、更抗飽和
┌────磁芯────┐ ┌────磁芯────┐
│ B │ │ B │
└──────┬──────┘ └──────┬──────┘
│ 氣隙 │ ← 這段場能量密度很關鍵
└────────┘
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🧮 數學補強 C｜磁路模型：用磁阻 ℜ 看 L 的幾何來源
磁動勢： • ℱ = N·I
磁阻（類比電阻）：
• ℜ = l/(μA)
磁通：
• Φ = ℱ/ℜ = (N·I)/ℜ
磁通鏈結：
• λ = NΦ = N·(N·I/ℜ) = (N²·I)/ℜ
所以：
• L = λ/I = N²/ℜ
✅ 工程直覺：
• N ↑ → L ∝ N²（很快變大） • μ ↑、A ↑、l ↓ → ℜ ↓ → L ↑ • 加氣隙 → ℜ ↑ → L ↓，但更線性、更抗飽和
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🛰️ 五、衛星 × 光通訊案例：為什麼光鏈路也逃不過電感？
光通訊是光，但落地一定有：電源、驅動、致動、線束、封裝互連。 最常見的隱形殺手：你沒管理好的 L（含寄生電感）。
【圖｜寄生電感＝你畫出一個大迴路】
不好：迴路大 → L_par ↑ → V=L·di/dt ↑ → ringing/地彈/EMI
驅動→ ────────────────→ 負載
│ │
│ │ ← 回流繞很遠
└─────────────┘
Loop 面積 A 大
好：迴路小 → L_par ↓
驅動→ ─────→ 負載
│ │
└───┘
回流貼近、Loop 面積小
案例 A｜終端高速驅動：寄生 L → 瞬態 → 地彈/抖動 → 眼圖/BER 變差
• di/dt 很大（高速脈衝） • 任何寄生 L 都會產生：V = L·di/dt • 這些瞬態變成供電紋波、地彈、時脈抖動 → 影響眼圖與 BER ✅ 翻譯：你以為是鏈路 budget 不夠，其實是磁能在回路裡亂跳。
案例 B｜地面站接收：電源電感磁場外溢 → 近場耦合進敏感鏈
• TIA/LNA/Clock 很怕近場磁耦合與電源瞬態 • 佈局不佳、迴路大、屏蔽差 → 磁場耦合進敏感線路 ✅ 一句話：電源的 L 不只是效率問題，它也在決定噪聲底。
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✅ 六、本單元小結
電感的場論來源是「磁場存能」：uₘ = ½·B·H 在空間積分得到 Wₘ = ∭uₘ dV，而工程上 Wₘ 也可寫成 ½·L·I²，因此 L 本質上是把磁場能量換算成 I² 的比例常數（L = 2Wₘ/I²），同時也是磁通鏈結 λ = NΦ 對電流的斜率（L = dλ/dI）。幾何與材料透過磁阻 ℜ 改變磁場分佈：磁路模型給出 L = N²/ℜ、ℜ = l/(μA)，因此匝數 N、μ、A、l 與氣隙都直接決定 L。工程上每一次改迴路面積/回流路徑/封裝互連，都是在改「磁能存在哪裡」，不只影響瞬態（V = L·di/dt）與 ringing，也影響 EMI。即使在最新衛星光通訊中，寄生電感與磁場外溢仍會以地彈、抖動、噪聲底的形式推高 BER——這就是 L 作為「場的最終驗收」的現代案例。
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🧪 單元數學練習題（題目下方直接給解答解析）
練習 1｜由能量反推 L（必做）
某電感在 I = 2 A 時存磁能 Wₘ = 1.6 mJ。求 L。 ✅ 解答： Wₘ = ½·L·I² L = 2Wₘ/I² = 2×1.6×10⁻³ / 4 = 0.8×10⁻³ H = 0.8 mH
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練習 2｜磁路模型：L = N²/ℜ（必做）
N = 100，ℜ = 5×10⁵ (A·turn/Wb)。求 L。 ✅ 解答： L = N²/ℜ = 100² / (5×10⁵) = 2×10⁻² H = 20 mH
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練習 3｜匝數加倍，L 變多少
同一磁路（ℜ 不變），N：50 → 100。L 變幾倍？ ✅ 解答： L ∝ N² → (100/50)² = 4 倍
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練習 4｜寄生電感瞬態（V = L·di/dt）
L_par = 2 nH，ΔI = 1.5 A，Δt = 0.5 ns。估 ΔV。 ✅ 解答： di/dt = 1.5 / (0.5×10⁻⁹) = 3×10⁹ A/s ΔV = 2×10⁻⁹ × 3×10⁹ = 6 V
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練習 5｜氣隙讓 ℜ 變大：L 會怎樣？
加入氣隙使總磁阻 ℜ 變 3 倍。 (1) L 變原來幾分之幾？ (2) 對抗飽和與線性有何好處？ ✅ 解答： (1) L = N²/ℜ → L 變 1/3 (2) 能量更多存於氣隙的場、降低磁芯逼近飽和，使 L 更線性、更抗飽和（代價是 L 變小）。
