最近被同事推坑Langley’s Adventitious Angles問題
同事表示你只需要知道兩件事情就能解出來了：
- 三角形內角和為180度
- 等腰三角形兩底角角度相等
當時我嘗試了幾條輔助線之後都沒看到進展，就受不了跟Gemini描述了這個問題，才知道原來這個問題大有來頭。Wiki也確實有只用到這兩個基本性質的解法。
然而真正有趣的是，這樣的題目是如何被創作出來的？這種題目普遍有個特性是題目上的各個角度都會是某個整數的倍數，比如上述的問題中出現的角度就都會是10的倍數。因此其實我們可以反過來在圓周上面建構一個角度的坐標系，把一個圓18等分，這邊我是直接用一個正18邊形，利用圓周角的性質，對應到1/18圓弧的圓周角就會剛好是10度，想要得到30度角，只需要如下圖找到對應3/18圓弧的圓周角就可以了。
而這個Langley’s Adventitious Angles問題中，如果把頂角放在圓心，並把問題中的角度用對應的圓周角表示出來，就會變成下面的這張圖片。
很神奇的發現UT這兩點所形成的直線居然就是AM這條對角線，所以問題的答案只需要數出這個角度對應三段弧長，也就會是30度。所以出題者其實很有可能是先去找出有沒有三個對角線共點的地方，再把不必要的線條一一移除，最後形成謎題。比如下圖：
這是把正18邊形頂點相連之後的結果，會發現U和T是唯一(排除對稱性的話)一組在三角形邊上的三線共點，而且連線剛好會在對角線上，從這裡出發就有機會創造出原本的問題，但真正精妙的點還是在於這個問題可以只用最基本的幾何原理求出未知角度，出題只是在眾多幾何形狀當中找出具有特殊性質(巧合)又能讓每個角度都是360的因數的簡單倍數。
