你不知道的九九乘法表秘辛

當大家爭論著小學生到底要不要背就九九乘法表時，中國的老祖宗早就告訴我們答案了。早在兩千多年前春秋戰國時代，民間已經流傳著「九九歌」供大家來背誦，而「九九歌」其實就是我們小時候所背誦的九九乘法表的乘法口訣。因為九九歌最初的內容是從「九九八十一」開始，因此就被命名為「九九歌」。根據漢朝時燕人韓嬰所撰《韓詩外傳》，在裡頭已詳細記載乘法運算成熟的「九九歌」，可見在春秋戰國時代「九九歌」已相當普及，也就是說它的發明可以推到更早之前，魏晉時數學家劉徽在《九章算術注》提到：「庖犧作九九之術，以合六爻之變」，（庖犧就是伏羲）。伏羲在中國被視為人類的始祖，因此這些記載可以說明「九九歌」的起源是相當早。有關九九歌的內容演進在此稍作簡介：一、春秋戰國時代：在《管子》等典籍中有大量「九九歌」的片段，《老子》裡亦記載「善數不用籌策」，都表明在春秋時代「九九歌」已經是一項很普及的知識，而精通數學的人會借助「九九歌」協助其在心算方面的運算，「九九歌」最早被發現時的內容從「九九八十一」起到「二二而四」止，總共有三十六句。由敦煌石窟所找到的「九九術殘木簡」，可以看出「九九歌」的內容形式大致如下：「九九八十一、八九七十二、七九六十三、六九五十四、五九四十五、四九三十六、三九二十七、二九十八；八八六十四、七八五十六、六八四十八、五八四十、四八三二、三八二四、二八十六；七七四十九、六七四十二、五七三五、四七二八、三七二一、二七十四；六六三六、五六三十、四六二四、三六十八、二六十二；五五二五、四五二十、三五十五、二五一十；四四十六、三四十二、二四而八；三三而九、二三而六；二二而四；大凡千一百一十。」在此八九七十二和九八七十二視為重複，因此八九七十二不列入，其餘類推，所以總共只有三十六句。二、大約在西元五至十世紀間：「九九歌」擴充到「一一而一」，也就是增加「九一如九」至「一一而一」，增加了九句，加上原本的三十六句，因此，「九九歌」在這個時期的內容是從「九九八十一」起到「一一而一」止，總共有四十五句。三、大約在西元十三至十四世紀：南宋末年，有些數學家覺得「九九歌」的順序好像不太合理，因此將它的順序顛倒過來，變成和現在所用的一樣，在元代朱世傑《算學啟蒙》中有相關的記載，從「一一而一」起到「九九八十一」止，總共有四十五句。後來，「九九」就成為數學的代名詞，元代數學家李冶因不滿於理學家鄙視實學，每天只會說一些天馬行空之事，於是在他的著作《測圓海鏡》一書中，嘲諷他們說：「夫文史尚矣，猶之為不足貴，況『九九』賤技能乎！」四、現在我們所使用的乘法口訣有兩種，一種是四十五句的「九九歌」，通常稱為「小九九」；還有一種是八十一句的「九九歌」，通常稱為「大九九」（九八七十二和八九七十二視為不同，因此總共會有八十一句）。在《韓詩外傳》中記載了一個齊桓公以「九九」招賢的故事如下：在西元前五百多年前，戰國七雄之一的齊桓公有感於國家的內亂已經三百多年都無法平息，內政也遲遲無法正常運作，於是請教大夫管仲治國大策，如何才能使齊國富強。管仲對齊桓公提出建議說：「要使得國家富強，必須分三個階段實施下列政策，第一階段為期三年，目的在教育人民，讓人民具有基礎的知識；第二階段為期一年，主要工作為選拔具有才能的人來朝廷當官；第三階段為期一年，主要目標在於擴充軍備，建立國防，以防外國的入侵。先充實內政，建設民心，然後再加強國防。」齊桓公採用管仲的策略，設立「招賢館」來徵求各方面的人才，可是等了一年多，都一直沒有人前來毛遂自薦。直到某一天一個老百姓帶著九九歌前來，並將它獻給齊桓公，這樣的情景有點像是「野人獻曝」，讓齊桓公覺得非常的可笑，於是指派手下將這位不知死活的老百姓趕出去，並對他嘲諷的說：「『九九歌』能當作是你個人的才學、知識嗎？」這個人非但不覺得羞愧，還很有勇氣的回應齊桓公鄙視的問話：「『九九歌』確實談不上昰什麼重要的知識，但是如果您對我這位只懂得九九歌的老百姓都能以重禮款待的話，那麼比我高明的人難道不會想來嗎？」齊桓公想一想覺得他說的話還蠻有道理的，於是就請手下把他迎到招賢館，好好的招待他。如這位老百姓所預言的，在不到一個月的時間內，從四面八方的賢士都相呼應而來，讓招賢館充滿各種人才。（原文如附註）從以上的歷史論述與故事，都讓我們可以深刻了解到中國的老祖宗在數學上，其實在很早以前就有很大的貢獻，因此我們後生晚輩也應當好好努力，除了要保存這些祖宗的知識外，也應當好好加以發揮。而由「九九歌」這個例子告訴我們，在數學上其實有些知識需要我們稍微記憶的，而不是全然都是要由自己建構，運用這些先人已經建構出來的知識，讓我們可以走得更好、更遠。附註：齊桓公招賢故事原文桓公設庭燎招賢，一年沒人應招。東野鄙人以『九九』求見，桓公使人戲之。鄙人曰：「夫『九九』，薄能耳，而猶禮之，況賢於『九九』者乎！」桓公遂禮之。不到一月，「四方之士相導而至矣」。

當大家爭論著小學生到底要不要背就九九乘法表時，中國的老祖宗早就告訴我們答案了。早在兩千多年前春秋戰國時代，民間已經流傳著「九九歌」供大家來背誦，而「九九歌」其實就是我們小時候所背誦的九九乘法表的乘法口訣。因為九九歌最初的內容是從「九九八十一」開始，因此就被命名為「九九歌」。

根據漢朝時燕人韓嬰所撰《韓詩外傳》，在裡頭已詳細記載乘法運算成熟的「九九歌」，可見在春秋戰國時代「九九歌」已相當普及，也就是說它的發明可以推到更早之前，魏晉時數學家劉徽在《九章算術注》提到：「庖犧作九九之術，以合六爻之變」，（庖犧就是伏羲）。伏羲在中國被視為人類的始祖，因此這些記載可以說明「九九歌」的起源是相當早。

有關九九歌的內容演進在此稍作簡介：

一、春秋戰國時代：在《管子》等典籍中有大量「九九歌」的片段，《老子》裡亦記載「善數不用籌策」，都表明在春秋時代「九九歌」已經是一項很普及的知識，而精通數學的人會借助「九九歌」協助其在心算方面的運算，「九九歌」最早被發現時的內容從「九九八十一」起到「二二而四」止，總共有三十六句。由敦煌石窟所找到的「九九術殘木簡」，可以看出「九九歌」的內容形式大致如下：

「九九八十一、八九七十二、七九六十三、六九五十四、五九四十五、四九三十六、三九二十七、二九十八；

八八六十四、七八五十六、六八四十八、五八四十、四八三二、三八二四、二八十六；

七七四十九、六七四十二、五七三五、四七二八、三七二一、二七十四；

六六三六、五六三十、四六二四、三六十八、二六十二；

五五二五、四五二十、三五十五、二五一十；

四四十六、三四十二、二四而八；

三三而九、二三而六；

二二而四；

大凡千一百一十。」

在此八九七十二和九八七十二視為重複，因此八九七十二不列入，其餘類推，所以總共只有三十六句。

二、大約在西元五至十世紀間：「九九歌」擴充到「一一而一」，也就是增加「九一如九」至「一一而一」，增加了九句，加上原本的三十六句，因此，「九九歌」在這個時期的內容是從「九九八十一」起到「一一而一」止，總共有四十五句。

三、大約在西元十三至十四世紀：南宋末年，有些數學家覺得「九九歌」的順序好像不太合理，因此將它的順序顛倒過來，變成和現在所用的一樣，在元代朱世傑《算學啟蒙》中有相關的記載，從「一一而一」起到「九九八十一」止，總共有四十五句。後來，「九九」就成為數學的代名詞，元代數學家李冶因不滿於理學家鄙視實學，每天只會說一些天馬行空之事，於是在他的著作《測圓海鏡》一書中，嘲諷他們說：「夫文史尚矣，猶之為不足貴，況『九九』賤技能乎！」

四、現在我們所使用的乘法口訣有兩種，一種是四十五句的「九九歌」，通常稱為「小九九」；還有一種是八十一句的「九九歌」，通常稱為「大九九」（九八七十二和八九七十二視為不同，因此總共會有八十一句）。

在《韓詩外傳》中記載了一個齊桓公以「九九」招賢的故事如下：

在西元前五百多年前，戰國七雄之一的齊桓公有感於國家的內亂已經三百多年都無法平息，內政也遲遲無法正常運作，於是請教大夫管仲治國大策，如何才能使齊國富強。管仲對齊桓公提出建議說：「要使得國家富強，必須分三個階段實施下列政策，第一階段為期三年，目的在教育人民，讓人民具有基礎的知識；第二階段為期一年，主要工作為選拔具有才能的人來朝廷當官；第三階段為期一年，主要目標在於擴充軍備，建立國防，以防外國的入侵。先充實內政，建設民心，然後再加強國防。」

齊桓公採用管仲的策略，設立「招賢館」來徵求各方面的人才，可是等了一年多，都一直沒有人前來毛遂自薦。直到某一天一個老百姓帶著九九歌前來，並將它獻給齊桓公，這樣的情景有點像是「野人獻曝」，讓齊桓公覺得非常的可笑，於是指派手下將這位不知死活的老百姓趕出去，並對他嘲諷的說：「『九九歌』能當作是你個人的才學、知識嗎？」這個人非但不覺得羞愧，還很有勇氣的回應齊桓公鄙視的問話：「『九九歌』確實談不上昰什麼重要的知識，但是如果您對我這位只懂得九九歌的老百姓都能以重禮款待的話，那麼比我高明的人難道不會想來嗎？」齊桓公想一想覺得他說的話還蠻有道理的，於是就請手下把他迎到招賢館，好好的招待他。如這位老百姓所預言的，在不到一個月的時間內，從四面八方的賢士都相呼應而來，讓招賢館充滿各種人才。（原文如附註）

從以上的歷史論述與故事，都讓我們可以深刻了解到中國的老祖宗在數學上，其實在很早以前就有很大的貢獻，因此我們後生晚輩也應當好好努力，除了要保存這些祖宗的知識外，也應當好好加以發揮。而由「九九歌」這個例子告訴我們，在數學上其實有些知識需要我們稍微記憶的，而不是全然都是要由自己建構，運用這些先人已經建構出來的知識，讓我們可以走得更好、更遠。

附註：齊桓公招賢故事原文

桓公設庭燎招賢，一年沒人應招。東野鄙人以『九九』求見，桓公使人戲之。鄙人曰：「夫『九九』，薄能耳，而猶禮之，況賢於『九九』者乎！」桓公遂禮之。不到一月，「四方之士相導而至矣」。