條件機率

改進對於機率的估計

修但幾勒, 這似乎有哪個環節出了問題, 如果照這個邏輯來看, 應該大家都不太敢跨出第一步吧, 而且把這個邏輯套用到其他地方, 比如: 業務, 做更進一步的銷售, 也需要冒著失去顧客的風險, 所以他們也很難向客戶更進一步銷售自家產品, 但這似乎跟我們的生活經驗相違背, 這到底是怎麼一回事呢? 訊號, 當我們看到某些事件發生時, 可以透過它來修正我們對於機率的估計。 舉個例子, 假設今天我想出門, 但不曉得等等會不會下雨, 我需不需要把晾在陽台的衣服收進來, 最直覺的做法是什麼? 查天氣預報, 噢不是, 我是說抬起頭來看看天空中雲的數量多寡, 老規矩畫個樹狀圖。根據過往的經驗, 我們大致可以算出, 下雨和沒下雨的機率分別為 50%, 50%

加入了新的資訊後, 我們可以進一步拓展這張樹狀圖。 根據觀察, 天氣降雨和沒降雨的機率皆為50%, 在降雨的天數中, 多雲的機率為80%, 少雲為20%, 而沒下雨的天數中, 多雲的機率為5%, 少雲的機率為95%

假設我們一共觀察了10000天, 裡面大約有5000天下雨, 5000天沒有下雨, 更進一步解析會發現, 有4000天是多雲且下雨, 1000天是少雲且下雨, 有250天是沒下雨但雲很多, 有4750天是沒下雨且雲很少的。因此在看到多雲的情況下, 接下來下雨的機率為 4000/(4000+250) 約94%, 是不是比只觀察下雨與否得出來的50%高出許多呢? (筆記: 在此我們採取頻率機率的計算。)

事實上, 在牽手或是銷售的例子裡也是如此, 在沒有任何資訊輔助的情況下, 我們會透過自身過往的經驗, 對於 “對方是否有興趣” 這件事的機率做出主觀評估, 但隨著經驗增長, 我們會開始習得一些其他的指標, 例如: 肢體語言, 對於對話的投入程度, 或是臉部表情的細微變化, 來幫助我們調整對於成功機率的計算, 進而優化我們的決策, 所以說練習很重要。

當然有另一種玩法是假設成功率為1%, 那我就無腦出手100次, 平均而言我就可以成功一次, 但這就要看場合跟用途, 如果你今天在做陌生開發, 希望幫公司找到新的客戶, 這是個不錯的想法, 但如果你無腦挑戰和100個陌生的異性進行親密的肢體互動, 那麼這就很可能是你的下場

我真的有病? 偽陰性、偽陽性與快篩

舉個例子, 假設今天你咳嗽、微微有點發燒, 你會怎麼做? 到超商買快篩, 看看自己是否確診Covid-19。假設在台灣, 每10個人就有1人確診,

如同剛剛的做法, 我們假設共有10000人, 生病的有1000人, 沒生病的有9000人, 而生病且檢驗出來是陽性的有990人, 生病但快篩結果顯示陰性的有10人, 沒生病但驗出來是陽性的有900人, 其餘則有8100人。假設你快篩結果為陽性, 你染上新冠的機率約為52%, 也就是說你仍有48%的機率是健康的, 而當你是健康的情況下, 所被驗出來的陽性就稱為偽陽性。同理, 當你染上了新冠病毒, 卻被判定為陰性的機率大約只有 0.13%, 而這樣的情況便稱為偽陰性。

在這樣的題目設定下, 你會發現我的快篩將你誤診為陽性的機率很高, 這麼做有什麼目的呢? 透過這樣的設計, 每10000人中, 我只需要針對其中2000人左右進行更精密的檢查, 漏網之魚卻可以縮減到每1000人中只有1.3人。在醫療量能不足的情況下, 設計這樣的機制可以有效的節省人力以及其他資源。在這裡大家可以稍微感覺一下, 雖然透過蒐集資訊可以修正我們對於機率的估計, 但這樣的舉動也會大大提高成本, 甚至有時也會讓實驗變的窒礙難行。

而在這個情境裡還有另一個觀察點是: 快篩的靈敏度, 當我們將快篩的靈敏度設計的較高時, 它就較容易顯示陽性, 導致你明明沒有生病, 卻被誤判為陽性的機率會大幅提高, 但好處就是, 你有生病卻被判定為陰性的機率就會大幅降低, 形成寧可錯殺, 不可錯放的局面。然而, 如果調低靈敏度, 就會呈現完全相反的結果, 至於天秤該偏向哪一邊, 完全取決於實驗所需。

獨立事件

某些情況下, 兩個事件的發生與否是絲毫不相干的, 舉個例子, 今天下雨的機率和樂透開獎號碼中出現3的機率, 你無法透過樂透是否出現3來改變你對降雨機率的推測, 當然你也不可能透過下雨或是晴天來改變你對於3出現的機率的預測, 這時候我們稱這兩件事在機率上互相獨立。

互斥事件

除了獨立事件外, 還有另一種特殊的事件, 叫做互斥事件。什麼是互斥事件呢? 簡單來說就是當A發生了, B就必然不會發生, 舉個例子, 當一張樸克牌翻開後, 如果他是梅花三, 它就不可能同時又是黑桃二, 反之亦然, 所以我們就會說這兩件事情互斥, 像這樣的訊號就對於機率的判讀很有幫助。

結語

今天我們看到了蒐集資訊如何改善對於機率的評估, 然而蒐集資訊是需要付出代價的, 如果花費大把精力在蒐集獨立事件的資料, 那會付出很多多餘的成本, 卻又無法對於我們所關注的議題做出多一點點的貢獻, 一切就徒勞無功了。

(aka. 事前先想清楚, 不要什麼都往電腦裡塞)

最後問問大家, 讓你判斷可以大膽牽下去的訊號是什麼呢？