<電磁學筆記1>向量分析之梯度

服用須知 : 本系列內容力求白話、通順、易懂（畢竟是筆記嘛😂），因此較沒有極度嚴謹的數學證明，如有特別嚴謹的需求還是要參考教科書！

知識基礎 :

在正式進入梯度的主題之前，我先帶各位複習一下大一微積分的偏微分符號及其意義 :

• 𝒹ƒ : ƒ值的微小增量，同理適用於𝒹x、𝒹y等......
• ∂ƒ/∂x : ƒ在x方向上的偏微分(變化率)，同理適用於∂ƒ/∂y等......
• i、j、k：單位向量

場變化增量：

假設有一坐標空間，內部充斥一個「場」，是甚麼場我們先不管，只知道這個場的強弱分佈依循ƒ關係式。

空間中有一個點，將其沿著一段微小的向量𝒹𝓁移動（如圖），這段位移增量可以表示成ｘ、ｙ、ｚ三個方向分量的相加，亦即：𝒹𝓁＝ｉ𝒹x＋ｊ𝒹y＋ｋ𝒹z。

再來，我們想知道這個點移動前後，ƒ的值改變了多少（即𝒹ƒ），已知ｘｙｚ三個方向的移動都會分別影響ƒ的值，於是拆開來分析：

• ƒ在ｘ方向上的改變＝ƒ在x方向上的變化率×點在x方向上的移動量，亦即:

• ƒ在y、z方向上的改變量，同理可得。

記得把各方向上的變化量乘上單位向量ｉｊｋ，使其具有方向性，接著把他們相加起來不就是𝒹ƒ了嗎？因此移動後ƒ的增量為：

梯度運算子(Gradient) :

所謂運算子（operator），就是像一部機器，輸入一個值就會輸出相對應的結果。今天設定一個運算子 ∇ (念作Gradient，簡寫為grad) ，定義：

以輸入ƒ為例，則∇ƒ為ｆ的梯度：

拿剛剛的∇ƒ和之前提到的動點移動路徑向量𝒹𝓁（＝ｉ𝒹x＋ｊ𝒹y＋ｋ𝒹z）做內積，會發現居然得到了場變化增量𝒹ƒ（注意，內積過後是純量），亦即：

梯度的意義：

由上式可以看到梯度的定義漸趨明朗（梯度和路徑的內積＝場值變化量），如果說，∇ƒ向量和𝒹𝓁向量間有夾角θ，則可將上式改寫為：

當cosθ=1(θ=0度)，會發現場變化增量有最大值。

👉意義１：位移向量和梯度向量同向時，場值的變化量最大。因此梯度的方向就是最大變化率的方向。

然而，要達到最大場值變化的路徑有百百種，就如同一座山丘，從底部到山頂的路徑有很多種，我們要找最短的位移𝒹𝓁，但因為路徑最短，所以路途會最陡，ƒ的變化率最大，但增量是一樣的。

想要最短距離達成最大效益，想當然θ要先=0度，也就是移動方向已經對準最陡峭的向量了，此時ƒ的變化率正是梯度∇ƒ（因為增量＝變化率乘位移）。

👉意義２：沿著梯度方向走，在梯度最大值處，可最快達到最大增量。

把數學式移項，得到：

可見梯度最大值，ƒ隨路徑的變化率也最大。

👉意義３：梯度就是隨不同路徑移動時，ƒ增量的變化率。

參考資料：

中山大學開放式課程 電磁學 周啟教授

周啟電磁學網路課程講義 第一章向量算符

以上就是我的筆記，由於內容屬於原創，如上述有用詞不精、詞不達意、或是觀念錯誤等情況，麻煩在底下留言告知，我會加以修改，請各位多多指教了🙇‍♀️！

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