尋犀記 (1)

一、畢氏定理

近代考古發現的幾塊巴比倫泥板證實了：早在Pythagoras 的一千多年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是Pythagoras 在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。

Plimpton 322 是一塊以楔形文字書寫的巴比倫泥板，根據考古研究，約寫成於公元前1800 年左右。

1922 年，紐約出版商George Arthur Plimpton 從考古探險家、兼販售商Edgar J. Banks 的手中購得了這塊泥板，並於1936 年，將它和其他的收藏品、作為遺贈、一併捐贈給哥倫比亞大學。據Banks 稱，該塊泥板得自於Senkereh，該處、位於伊拉克南部，是Larsa 古城的舊址。

泥板中、列出了十五列的數字，以當時的六十進位來表示，最右一欄寫的是每個列的序號，而倒數第三、二欄，則標註了「寬邊」、和「斜邊」。

這麼大量的數字是無法用試算拼湊出來的，學者指出：倒數第三、二欄的用意，應該在列出 a² + b² = c² 的整數解；其中，a 代表「寬邊」、c 代表「斜邊」的長度。

IM 67118 則是另一塊以楔形文字書寫的巴比倫泥板，約寫成於公元前1770 年左右。

1962 年，伊拉克考古學家Taha Baqir 所率領的團隊公佈了在Baghdad 近郊、也就是巴比倫古城Tell edh-Dhiba'i 的舊址處、出土的IM 67118。

泥板中、提出了一個問題：矩形的面積：A = 0.75，對角線：c = 1.25，問，長方形的邊長 a 和 b 分別是多少？

裡面的解答表明，作者運用了 c² - 2A = c² − 2ab = (b − a)² 的性質。

這個性質，並不是單憑二項式平方的算數運算、經由拆解重組、隨機拼湊出來的結果，而應代表，作者已經知道了類似《周髀算經》中勾股定理的輔助線，此即：將大正方形裡面斜嵌的中正方形，畫四條垂直的輔助線，而由四條輔助線構成的、最中間的小正方形、稱為「中黃實」、則等於 (b − a)²。

趙爽在《周髀算經註》中言：「按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之，為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。」亦同此意。

儘管如此，但巴比倫人終究沒有運用到「純」幾何的方法，也就是完全沒有算數的方法，來證明「畢氏定理」。

Pythagoras 是否真的以「純」幾何的方法證明了它，已經不可考，根據記載，Pythagoras 曾經因為這個定理舉行了「百牛大祭」，所以，有理由相信，「畢氏定理」的「純」幾何證明、是為Pythagoras 證出，不然，這麼隆重的祭祀，又是所為為何呢？

所謂「百牛大祭」(ἑκατόμβη；hekatómbē)，指的是向希臘諸神獻祭一百頭牛 (hekaton，一百；bous，公牛) 的儀式。雖然說、數目是一百，但在實際的操作上，可以以殺死十二隻牛來象徵其數。

Pythagoras (c. 570 ~ c. 495 BC) 約在公元前540~535 年間，也就是Polycrates 成為Samos 僭主的統治前後，離開Samos。

後來，Pythagoras 遊歷到埃及、約有十年之久。

波斯王Cambyses II 在公元前525 年入侵埃及，滅掉了當時的埃及政權，在浩浩蕩蕩的波斯艦隊中，還包括了Samos 的僭主Polycrates 背棄他的盟友、所派遣的四十艘戰船、加入其中。

Pythagoras 也因此被俘、而被送往Babylon；在那裡，他學習到當地的音樂、數學等知識。

約在公元前520 年，Pythagoras 得以離開Babylon、並返回Samos 島。

Polycrates 於公元前522 年被刺殺身亡，Cambyses II 則於公元前522 年夏天、意外死亡，這些統治者的過世、可能是他返回Samos 的原因之一，但並沒有其他資料可以解釋、Pythagoras 如何獲得自由。

最後，約在公元前518 年，Pythagoras 到了現代意大利南部的Croton，並在那裡、建立一個致力於神祕主義的宗教團體。「畢氏定理」的證明、和「百牛大祭」，應該發生在此時。

The proof of Pythagorean theorem 畢氏定理的證明

「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」

這就是著名的「畢氏定理」，可以表示為：

a² + b² = c²

以下介紹畢氏定理的幾種證明，有幾何附帶算數的，也有「純」幾何的：

Garfield's proof of the Pythagorean theorem 加菲的證明

James Abram Garfield 是美國第20 任總統，他的在任期間，乃自1881 年3 月4 日就職，到他六個月後去世 — 被刺客槍殺的兩個月後 — 為止，據說，殺死他的並不是子彈，而是醫生未經充分消毒的雙手和設備。

因為對數學有著濃厚的興趣，Garfield 在從政之前，本想成為一名數學家，以至於在當選國會議員後、仍孜孜不倦地學習；一天，在眾議院中、正值其他議員熱烈地討論國家大事的當兒，他想出了畢氏定理的一個簡單證明：

做一個水平貼於地面的底，由長短兩段 a + b 結接而成。底的長段 a 在左、短段 b 在右。

在長段 a 的左端、做一個直立的高，短段 b 的右端、做一個直立的高，再把兩個高的頂端、畫一條直線連接起來，這會像是一個斜切紙箱的橫剖面般的直角梯形。

他想要用這個、由兩個相同的直角三角形、和半個正方形所組成的直角梯形、來證明：長短兩段的平方和 a² + b²、會等於它們所構成的直角三角形的斜邊平方 c²。

令，在長底 a 的左端立著的高 (或稱梯形的上底)，長度為 b；在短底 b 的右端立著的高 (或稱梯形的下底)，長度為 a。

這樣，梯形的面積、就成為： (1/2) * (a + b) * (a + b)。

梯形的面積、減掉兩個直角三角形的面積和 ab，會等於直角三角形的斜邊平方 c² 的一半，此即：

(1/2) * (a + b) * (a + b) - ab = (1/2) * c²

這就證明了畢氏定理。

而現今流傳廣泛的另一個證法，和上述Garfield 的證明是等義的，所以，也將它放在此段、一起介紹：

做一個大正方形，底長為：c = a + b。

從正方形的左下角開始，沿著邊、往右，再向上，再往左⋯，類似逆時鐘旋轉，讓正方形的四個邊，依序、成為：a + b、a + b、a + b、a + b，這樣的切割。

把四個切割點、用直線連接起來，這樣，會在原來的大正方形中、構成一個斜嵌的內接正方形。

先計算大正方形的面積，它是：(a + b)²。

而斜嵌的內接正方形的面積、則是：c²。

在斜嵌的內接正方形的周圍、有四個直角三角形abc，其中，c 是斜邊，a 是較長的側邊，b 是較短的底邊。

每個直角三角形的面積、都是：(1/2) ab；四個加總起來，等於：2ab。

這樣，大正方形的面積、扣掉四個直角三角形的面積和，會等於斜嵌的內接正方形的面積，此即：

(a + b)² - 2ab = c²

這就證明了：

a² + b² = c²

得證。

上段Garfield 的證明、和此處的證明，差別僅在等號兩邊多出來的 1/2。

Pythagorean theorem proof using similarity 利用相似三角形來證明

我們想要證明：a² + b² = c²，

其中，c 是直角對應的斜邊；a 是較長的側邊，b 是較短的底邊。

讓斜邊 c 水平貼地，較長的側邊 a 位於左上，較短的底邊 b 位於右上。這樣比較好想像。

首先，由上方的直角、往下、畫一條垂直線到斜邊 c，並將 c 切割為：x + y 的兩段。長段 x 位在較長側邊 a 的下方，短段 y 位在較短底邊 b 的下方。

可以觀察到，前述的垂直線、將原來的直角三角形、劃分成兩個小直角三角形；而這三個三角形、都彼此相似，只是大小不同。

從較長側邊 a 比長段 x，會等於斜邊 c 比較長側邊 a，可以得到：a/x = c/a；

也就是：a² = cx。

從較短底邊 b 比短段 y，會等於斜邊 c 比較短底邊 b，可以得到：b/y = c/b。

也就是：b² = cy。

相加二者，我們得到：

a² + b² = cx + cy = c * (x + y) = c²。

得證。

以上是幾何附帶算數的證明，以下，介紹「純」幾何的證明：

Another Pythagorean theorem proof 另外的證明

我們有一個直角三角形abc，c 是直角的對邊，也就是斜邊，a 是較長的側邊，b 是較短的底邊。

一樣，讓斜邊 c 水平貼地，較長的側邊 a 位於左上，較短的底邊 b 位於右上。這樣比較好想像。

想像較長的側邊 a、和較短的底邊 b，類似趴著的背、和跪著的大腿。

現在，以水平貼地的斜邊 c 為邊長、做一個大正方形，將剛剛的直角三角形、框在大正方形裡面。

接下來，再想像，把剛剛的直角三角形、往上移，移到大正方形的頂部；這個動作相當於：在正方形的「家」上面、蓋一個屋頂。

屋頂的左上邊、就是原來直角三角形的較長側邊 a，右上邊、則是原來直角三角形的較短底邊 b。

再從屋頂上方的直角、畫一條垂直線，往下、連接到、被框在大正方形裡面的直角三角形的直角頂端。

這樣的圖形，看起來、會像是一個從空中鳥瞰的、3d 的屋脊圖。

這個從空中鳥瞰的屋脊圖、有兩片屋面：左邊的一片、是以直角三角形的較長側邊 a，和大正方形的左側邊、其長、等於直角三角形的斜邊 c，所構成的平行四邊形；右邊的一片、則是以直角三角形的較短底邊 b，和大正方形的右側邊、其長、等於直角三角形的斜邊 c，所構成的平行四邊形。

以 a、c 為邊構成的平行四邊形，它的高是多少呢？

畫輔助線，可以知道：它的高、也是 a (理由不敘，請自行思考，此和剛才內嵌斜正方形外的大正方形圖是相通的，所以，要畫一個更大的正方形，把本段的大正方形和直角三角形都框起來)；

同理，以 b、c 為邊構成的平行四邊形，其高、也是 b。

所以，這兩片平行四邊形的面積、加總起來、會等於：a² + b²。

接下來想像：剛剛，不是把在「家」裡面的直角三角形、搬到大正方形的頂部嗎？

現在，再把它剪下來，貼回原來水平貼於地面的趴著的直角三角形之處。

這樣，兩片平行四邊形 a² + b² 不就變回為一個大正方形了嗎？

大正方形的面積、為：c²。

這就證明了畢氏定理。

Pythagorean theorem proof of this article 本文的證明

本文延續上述最後一個「純」幾何證明的精神，試證畢氏定理如下：

在大正方形的頂部，蓋一個、斜邊 c 水平地貼於大正方形頂部、而較長的側邊 a 位於左上、較短的底邊 b 位於右上的直角三角形。

現在，讓直角三角形的兩端、沿著正方形的兩個側邊往下移動，也就是，讓直角三角形垂直下滑，直至斜邊 c 水平落於地面，也就是正方形的底部，為止。

如此，較長的側邊 a 移動的軌跡，就是 a²；較短的底邊 b 移動的軌跡，就是 b²。

這兩片平行四邊形的面積和，會等於大正方形的面積。

此即：

a² + b² = c²

得證。

是不是十分生動、簡潔？

Pythagoras 的「純」幾何證明已經失傳，而後來Euclid 在《幾何原本》I.47 中給出的證明，又被稱為是「驢橋」(pons asinorum)，代表：第一、它很醜，看起來像是一隻驢在過橋，第二、它很難，學習它的人、就像是一隻驢在過橋般地艱難，是數學能力的一道門檻，故也被稱為「笨蛋的難關」。

同樣是從屋頂上方的直角、畫一條垂直線，往下、連接到、被框在大正方形裡面的直角三角形的直角頂端 (或斜邊 c 水平貼地處)，但前段本文提出的證明，是想像、大正方形頂部的直角三角形垂直下滑，隨即能夠直觀地看到，較長的側邊 a 移動的軌跡、加上較短的底邊 b 移動的軌跡，就是大正方形的面積，而Euclid 則在左上方的較長側邊 a、和右上方的較短底邊 b 處，多了兩個、如老驢馱負行囊般的正方形重物，那麼，當然就需要如重重繩縛般的輔助線，才得以完成艱難的證明了。