數學中的除法:為什麼不能除以0?

更新於 發佈於 閱讀時間約 2 分鐘

前言

每個人的成長過程中 一定伴隨著無限多個為什麼
為什麼這個不能吃?為什麼這時候要安靜?為什麼要這麼做?......等等
尤其數學又是一門特別重視邏輯思考的科目
想必大家在學習數學的過程中 很常問「為什麼」
不知道有沒有人問過老師:為什麼計算的時候不能除以0呢?
或是 0為什麼不能放在分數的分母?

先分享一下我以前的教法:直接背起來
一開始是在小學生(忘記幾年級)的考卷上遇到這樣的問題
如果是0÷1 答案是0
但如果是1÷0 答案要寫無解
(↑上兩行的1可以換作任意非0的數)
這時候小學生肯定會問 為什麼有這樣的答案??
由於當時有其他頁數要講解與訂正
時間壓力下 我只能請學生先背起來 以後再說
再說再說 幾年就過去了
後來看到一部國外製作的精采數學動畫
突然很想幫當年的學生講解一下這個觀念

火柴人vs數學

(↑從2:34時開始提到除法 2:49是除以0的講解)

這個影片的中文解說在youtube俯拾皆是 我就不貼了

以下用文字的方式來補充一下為什麼不能除以0
(好啦對不起廢話太多了)


正題

除法 其實就是「連續的減法」
也可以說是把連續減法簡化後的符號
如果有20個蘋果要分給4個人
1人先拿1個就要減掉4
1人再拿1個就要再減4
一直減到蘋果分完(剩下0)
所以20-4-4-4-4-4=0
我們發現一共減了「5」次
代表蘋果分給1人1個 這個動作分了5次
也就是每個人手上會有5顆蘋果
所以我們衍伸出除法:20÷4=5
也就是「我需要把被除數拿去減除數減『幾次』才會變成0」
當然 有餘數的情況 或是多項式的除法等等 先按下不表

回到0÷1和1÷0

  • 0÷1:把0拿去減1 要變成0 只要減『0次』 被除數本身就是0 所以=0
  • 1÷0:把1拿去減0 要變成0 無論減多少次 被除數永遠都不會變0 所以無解

另外也可以把除法理解成「分東西」 平分成幾堆的意思
我曾經用過的一個例子是:

  • 一個過世的人 名下財產為0元 他生了3個孩子 則1個孩子平均分得多少元?
  • 一個過世的人 名下財產為3元 他沒有生孩子 則1個孩子平均分得多少元?

當然 這個舉例方式牽扯到遺產稅、繼承權等等法規 這我不是太懂 只能暫時忽略掉
以單純數學題目來看
第一種講法應該比較好理解 因為財產0元 3個孩子1毛錢都分不到 所以1個孩子平均分得0元 也就是0÷3=0
第二種 如果不管財產要不要「充公」的法律觀念 他的遺產會卡在「分不出去」的情況 就像是程式當中出現BUG一樣 會造成程序無法順利執行

加點情境的話就是 老人家手上拿著僅有的3塊錢 嚥下最後一口氣 因為沒有小孩 手上的錢分不出去 然後鏡頭慢慢拉遠 變成黑白(?)

有時適當加一些情境更有益於理解觀念:)

跟大家分享我的想法以及我的所見所聞 很多事情沒有對錯 多想想 多思考
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一道知名方程式題組題
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