綁架愛麗絲 之 地下邏輯 099

8 The Queen’s Croquet-Ground: 形而上的貓?

皇后的槌球場

七

首先﹐柴郡貓顯然不是一隻普通的貓﹐他跟物理世界的貓很不一樣。他可以說是一隻超自然的貓 (a paranormal cat) 或甚至是一頭形而上的貓 (a metaphysical cat)。

「凡有頭的東西都可以被砍頭」—— 我們稱此句為「Bh」⁸⁴ —— 是一個描述物理世界的句子﹐一旦用來描述一隻形而上的貓﹐句子還有意義嗎﹖

這是第一個問題。

我們打算用形式邏輯語言將 Bh 翻譯出來。Bh 是個包含量化 (quantification) 的句子﹐即句子內容涉及論域中的「全部個體」或「部份個體」﹐因此需要使用量號 (quantifier)。⁸⁵

換句話說﹐我們將使用謂詞邏輯 (predicate logic) 的語言來做翻譯。

Bh: 凡有頭的東西都可以被砍頭。

此句有兩個謂詞﹕「有頭的」和「可以被砍頭」。我們用「H」代表前者﹐用「B」代表後者﹐並且如下翻譯為謂詞邏輯語言。

Bh1: ∀x (Hx ⊃ Bx)

此句的意思是說﹐凡 x (∀x)﹐如果 x 有頭 (Hx)﹐那麼 x 可以被砍頭 (Bx)。

留意括號內的「Hx ⊃ Bx」﹐這是一個條件句 (conditional sentence)。

條件句有一個邏輯特性﹐就是將前件 (「⊃」左邊的「Hx」) 和後件 (「⊃」右邊的「Bx」) 的位置調換﹐再在前後件的前面加個否定號﹐結果與原來的條件句等值⁸⁶; 即

(p⊃q) ≡ (﹁q⊃﹁p)

也就是說 p⊃q (讀為﹕如 p 則 q) 和 ﹁q⊃﹁p (讀為﹕如非 q 則非 p) 是等值的。這個操作稱為「置換」(transposition)﹐是一個根據條件句的真值定義得來的推論規則 (rule of inference)。

記得 真值表[2] 列出條件句在怎樣的真值配搭的情況下是真或是假嗎﹖在真值表[2] 的基礎上，我們做了另一個真值表，列出條件句做了置換操作後的所有可能的真值配搭。真值表[8] 的處理應該自明，故不累贅解說。

顯然，「p⊃q」和「﹁q⊃﹁p」在同一真值配對的情況下為真或假。

現在我們對 Bh1 進行同一操作並得到﹕

Bh2: ∀x (﹁Bx ⊃ ﹁Hx)

此句的意思是說﹐凡 x﹐如果 ﹁[x 可以被砍頭)]﹐那麼 ﹁[x 有頭]。

用更接近日常語言的講法﹐就是說﹕凡 x (即 ∀x)﹐如果 x 不可以被砍頭 (即 ﹁Bx)﹐那麼 x 沒有頭 (即 ﹁Hx)。

如下則是日常語言的講法﹕

Bh3: 凡不可以被砍頭的東西都沒有頭。

Bh (Bh1 或 Bh2 或 Bh3) 沒有考慮到的恰恰是柴郡貓的情況﹕有頭無身。不是凡不可以被砍頭的東西都沒有頭。如果不可以被砍頭的東西等同一個頭﹐即有頭無身﹐這個東西便不可以被砍頭。雖然這個東西 (柴郡貓) 有頭﹐但這個東西的全部就是一個頭了。

當然，這裡涉及定義的問題，即如何定義「頭」—— 即有沒有有頭無身的東西?

在沒有全知觀點的情況下﹐如果真要在劊子手和國王的論理之間做判斷的話﹐當以劊子手的論理勝出。

事實上﹐在我們認識的物理世界裡﹐我們沒有全知觀點﹐我們都是「劊子手」。

但邏輯不一定是決定世間事務的唯一標準。

從人道主義立場出發﹐我們就不可以讓劊子手的論理勝出嗎﹖

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⁸⁴ 「Bh」來自英語的「beheading」(砍頭)。

⁸⁵ 對應自然語言中的相關用語﹐形式邏輯語言用的符號稱為「量號」。謂詞邏輯 (predicate logic; 亦稱「一階邏輯」(first-order logic) 只有兩個量號﹕「∀」和「∃」﹐分別代表漢語 (自然語言) 的「所有」(英語﹕「all」) 和「有些」(英語﹕「some」) 。

⁸⁶ 兩個句子在同樣的條件下為真，及在同樣的條件下為假。

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