譯：《心智、機械與哥德爾》上篇

《心智、機械與哥德爾》（英語：Minds， Machines and Gödel）由約翰·盧卡斯教授於1959年撰寫的哲學論文，他認為人類數學家不能被圖靈機所替代。

首次出版於《哲學》（Philosophy，XXXVI，1961年刊）第112-127頁；後轉載於《心智模型》（由肯尼斯· M·賽爾和弗雷德里克· J·克羅森編輯，聖母院出版社出版，1963年刊）第269-270頁；《心智、機械與哥德爾》（艾倫羅斯·安德森編輯，普倫蒂斯·霍爾出版社，1964年）第43-59頁。

Dan Hillier

《心智、機械與哥德爾》全文：

依我看，哥德爾定理證明了機械論是錯的。

也就是說，心智不能解釋為機器。許多人看來也是如此：幾乎每個聽過我的闡述的數學、邏輯學家都承認自己有過類似的看法，但在這個論點得到完整的闡述，並且充分的論證了所有的反對意見之前，他們都不願意承認自己的看法。 而我想冒險一下。

哥德爾的定理指出，在任何強到可以包容皮亞諾算術公理的一致的系統中，都有一些定理不能在系統中被證明，但我們卻可以看出這些定理是「正確的」。

實際上，我們看出的定理，是指：「這個定理在系統中是不可證明的。如果這個定理是系統中可證明的定理，那麼我們就會產生矛盾：因為如果它在系統中是可被證明的，那麼它就不是系統中不可被證明的定理，所以這個『定理在系統中是不可證明的。 』就是錯誤的；同樣，如果它是系統中可證明的定理，那麼它就不會是錯誤的，而必然是正確的。 因為在任何一致的系統中，都不能通過證明獲得錯誤結果，而只能通過證明獲得正確結果（定理）。

所以定理：「這個定理在系統中是不可證明的。就不是在系統中可得到證明的定理，但確實是屬於系統中的不可證明的定理。 此外，如果定理：「這個定理在系統中是不可證明的」在系統中是『不可證明的定理』，那麼這個定理在系統中是不能被證明的，也就是說定理：「這個公式在系統中是不可證明的」本身是正確的。

上述的論證很繁瑣，很難被完全理解：把論證反過來思考可能簡單一些，假設「這個定理在系統中是不可證明的」這條定理是錯誤的，但實際上這是不可能的事，從而證明這個定理是正確的；由此得出的結論是「定理」確實是不可證明的。 即便如此，這一論點仍然無法令人信服：我們認為，這其中一定有某種缺陷。

哥德爾定理的全部工作就是證明在任何地方都有「定理」沒有被捕獲到，其結果可以通過最嚴格的推導來確定； 它適用於所有形式系統，這些系統是一致的，足以涵蓋簡單的算術運算，即包含自然數和加法、乘法運算——這表明它們都是不完備的—即包含不可證明但卻完全有意義的定理，而且，我們站在系統之外，就可以看到其中一些定理確實是正確的。

哥德爾定理必然適用於機械控制論，因為它是機器的本質，它應該是形式系統的具體實例。 由此可知，任何一台機器，只要它是一致的，並且能夠做到簡單的算術運算，就有一個定理是不能產生為真的，也就是說，這個定理在系統中是不可證明的，但是我們卻可以看到它是真的。 因此，沒有一台機器能夠成為完美的心智模型，心智本質上不同於機械。

我們通過機械控制論來理解一種裝置，它根據一組確定的規則來執行一組操作。 通常我們對一台機器「程式設計」：也就是說，我們給它一套指令，告訴它在每一種可能的情況下要做什麼；我們輸入機器進行計算的初始「資訊」。

當我們考慮到大腦可能是控制論機制的時候，我們有這樣一個模型；我們假設大腦是由複雜的神經迴路組成的，感官輸入的資訊被「處理」並作用或存儲以備將來使用。 如果它是這樣一種機制，那麼它被給定程式設計的方式，即它被「連接」的方式，以及輸入到其中的資訊，就確定了它的反應—「輸出」，並可在足夠時間內被計算出來。 我們對機器的看法是，它的行為完全由它的構造方式和輸入的「刺激」所決定；它不可能獨立運行。（機械非自動者）

給定某種形式的構造和某種資訊輸入，那麼機械必然以某種特定的方式運行。 然而，我們不應該關心機器必然會做什麼，而應該關心它能做什麼。

也就是說，我們不考慮一整套操作規則，雖然這些規則共同決定了一台機器在特定情況下將做什麼，而只考慮這些規則的概要，這些規則將界定機器可能的反應，但不是完全的。

完整的規則將完全決定每個階段的操作；在每個階段都將有一個確定的指令，例如，「如果數位是素數且大於2，則加1除以2：如果不是素數，則除以其最小因數」：然而，我們將考慮是否可能有替代指令，例如：「在一個分數中，你可以用分子和分母的因數除以上下」。

因此，我們放寬模型的限制，使它不再是完全決定論的，但仍然是完全機械論的。

Pierre Soulages

我們將考慮到一個經常被提出來，用於心靈機械模型的特徵，即：它們應該包含一個隨機裝置。 人們可以建造一台機器，在給定的一些選項中做出選擇，比如說，在半分鐘內，鐳射原子在給定容器中分解的數量。初步看來，我們的大腦應該很容易受到隨機效應的影響：脈衝很可能足以觸發神經衝動。

但是，在一台機器中，很明顯一個隨機化裝置不能用來做選擇：它只能在許多給定的選項中進行選擇。把任意選擇的數位加到方程等式的兩邊是可以的，但不能把一個數位加到一邊，另一個加到別的地方去。我們可以選擇證明歐幾里德的一個定理而不是另一個定理，或者我們可以使用一種方法而不是另一種方法，但我們不能「證不可證的東西」，也不能使用無效的「證明方法」來證明。

任何隨機化設備只能在那些不會導致不一致的操作之間進行選擇：

這正是我們的模型所放寬的限制，可以這樣說：與其考慮一台完全確定的機器必然做什麼，不如考慮一台機器如果有一種隨機化裝置，當它有兩個或兩個以上的操作可能時，它們會不會矛盾。

如果有這樣一台機器是用來產生關於算術定理的（在許多方面，這是數學中最簡單的部分），那麼它將只有有限數量的部件，因此它只能進行有限數量的運算，並且只能進行有限數量的初始設定。

事實上，我們可以更進一步地說，只有有限數量的操作類型和初始設定可以納入其中。

機械是確定的：任何不確定或無限的東西我們都不應該算作是機器。注意，我們說的是操作類型的數量，而不是操作的數量。如果有足夠的時間，並且機器沒有磨損，它可以無限期地重複一個操作：它只不過可以執行有限種類型的操作。

如果系統中只有一定數量的操作類型和初始設定，我們可以用適當的書面形式的符號來表示它們。我們可以通過規則來進行操作，允許我們從一個或多個公式（或者甚至根本沒有公式）到另一個公式，並且我們可以通過一組初始公式（「原始命題」、「假設」或「公理」）來進行初始設定（如果有的話）。

一旦我們在紙面上寫出了這些內容，我們就可以看到每一個操作步驟：我們需要做的只是給出表示操作前後情況的公式，並注意調用的是哪個規則。 因此，我們可以在紙面上表示機器可能執行的任何操作序列。 不管機器運行多久，只要給我們足夠的時間、紙和耐心，我們都可以寫出機器運行的步驟類比。

這種類比事實上是一種形式上的證明：機器的每個操作都是由一個規則的應用來表示的：而決定機器在某種情況下是否可以執行操作的條件，在我們的表述中變成了：決定規則能否應用於某一公式的條件，即適用的形式條件。

因此，將我們的規則解釋為推理規則，我們將有一個公式的證明序列，每一個公式都是根據某個形式的推理規則寫下來的，該規則已經應用於一些以前的公式（當然，對於最初的公式除外，因為它們代表了系統內置的初始設定。）因此，機器產生的結果可能是真的，這將與相應形式系統中可以證明的定理相對應。

我們現在在這個形式系統中構造一個哥德爾定理。這個定理不能在系統中被證明。

因此，機器不能產生正確的相應公式。但我們可以看到，哥德爾定理是正確的：任何理性的人都可以遵循哥德爾的論點，並說服自己，哥德爾定理雖然在體系中無法被證明，但事實上，正是因為這個原因，才是正確的。

現在，任何心靈的機器模型都必須包含一種能夠闡明算術真理的機制，因為這是心靈所能做到的：事實上，很容易能構建出機器模型，這種模型在許多方面產生的算術真理遠遠強於人類。但在這一點上，它們做不好：在這一點上，每一台機器都有一個真理（哥德爾定理），但它不能生成這個真理，而大腦可以生成這真理。

這表明一台機器不可能是一個完美的心智模型。 它不能做到心智慧做的每件事，因為不管它能做多少事，總有它做不到而大腦能做到的事。

這並不是說我們不能製造一台機器來類比任何想要的類似心智的行為：只是我們不能製造一台機器來完全類比每個類似心智的行為。

我們可以（或將能夠）製造機器，能夠再現一些類似於心智的行為，甚至超越人類心智的表現：但是無論機器表現的有多好，無論它在幾乎所有方面能做得多好，它總是有這一個弱點，這一個它做不到的事情，而心靈卻可以做到。

哥德爾定理是機器控制論的致命弱點。

因此，我們永遠不能指望生產出一台機器，它能做到一個大腦所能做到的一切：從根本上我們永遠不可能獲得一個完全的心智的機器模型。

這個結論對有些人來說是值得質疑的，他們首先會反對—我們不可能擁有一台可以類比任何一種類似於思維行為的同時，卻不能類比每一種行為的機器。

對那些人來說這是矛盾的：因為對他們來說，好像只要指出「任何自然數都可以產生一個更大的數，而一個數不能產生大於每一個數的數」這兩個事實之間沒有矛盾就足夠了。

我們也可以用同樣的類比來反駁另一些人 ; 在他們發現他們的第一台機器有不能產生的公式是真的，於是便承認那台機器確實是不充分的，但因此尋求構造第二台更充分的機器，其中可以產生那些為真的公式。

他們確實可以做到這一點：但是第二台機器將有一個自己的哥德爾公式，將哥德爾過程應用於表示其（第二台機器）自己的、擴展的操作方案的形式系統上。而第二台機器所產生的這個公式將不能被認為是真的，但心智卻能夠看出它是真的。如果現在又有了第三台機器，能夠做第二台機器做不到的事情，同樣的事情也會發生：還會有第三個公式，對應於第三台機器的操作方案的形式系統的哥德爾公式，而第三台機器仍然不能產生這樣的公式，而心智還是能夠看到它是真的。

所以無論我們構造出多麼複雜的機器，只要它是機器，就都對應於一個形式系統。 接著就能找到一個在該系統內不可證的公式而使之受到哥德爾過程的打擊。 機器不能保持著真理性地把這個公式產生出來，儘管人類心智會看出它是真的。 因為這部機器仍然不是一個完整的夠格的心智模型。 我們總是試圖建立心智的一種機械模型，它是機械的——本質上講是「死」的—而心智事實上是「活」的，它總能比任何形式的、僵硬的、死的系統幹得更好。幸虧哥德爾定理，心智總是有最後的決定權。

現在將提出第二項反對意見：用以構造哥德爾公式的那個過程是一個標準過程——因而就能確保對每個形式系統都能構造出一個哥德爾公式。 可既然它是個標準過程，那也就能編出程式使一台機器能實施它⋯⋯而這又對應著存在一個具有一條附加推理規則的系統，使我們能把原系統的哥德爾公式作為一條定理加進去，然後又把這個新的、強化了的形式系統的哥德爾公式加進去，如此下去。 這相當於在原先的形式系統中加進一個無窮的公理序列，即加進逐次得到的每個系統的哥德爾公式⋯⋯我們或許會期望，有一個心智在面對著這台擁有哥德爾化算子、以及一切的一切再來個哥德爾化。事實上，已經證明的確如此。

即使我們把由各個哥德爾公式所組成的那個無窮公理集加進該系統，所得到的系統仍然是不完全的，仍然會含有一個在該系統內不可證的公式，而一個有理性的人站在該系統之外時卻能看出它是真的。我們已經料到這一點，因為即使加進一個無窮的公理集，它們也得靠某種有窮的規則或規格來指明，而這種進一步的規則或規格也會被心智在考察擴大了的形式系統時考慮進去。

在某種意義上，恰是由於心智有最後的決定權，所以它總能從任何一個被當作它自己工作的模型的形式系統中挖出一個洞。 從某種角度看，機械模型必定是有窮的、確定的，所以人的心智總能做得更好。

這是對圖靈提出的一項反對意見的回應，他認為對機器能力的限制並沒有多大意義。儘管每一台機器都無法得到某些問題的正確答案，但畢竟每一個人也都有可能犯錯：而且無論如何，「我們的優越感也只能在這種情況下才能被感受到，這是面對機器的一個小小的勝利而已。不可能同時勝過所有的機器。」

但這不是問題的重點。 我們討論的不是機器或心智孰優孰劣，而是它們是否相同。

在某些方面，機器無疑比人類的大腦優越；而它們會被一個相當瑣碎，甚至微不足道的問題難住，這是不可否認的。 但這已經足以證明機器和心智是不一樣的。 誠然，機器可以做許多人類心智做不到的事情：但如果有機器做不到的事情，而大腦可以做到，那麼無論那是多麼瑣碎的事情，都足以說明我們不能把兩者等同起來，也不能指望有一個心智的完備機械模型。 我們能勝過一台單獨的機器也並不意味著什麼：因為對一個特例的勝利沒有意義，對所有對象的勝利才有意義——在拉丁語中是quivis（任何）或quilibet（任意），而不是quidam（某些）——心智的機械模型必然是一台單獨的機器。 儘管一個大腦對一台機器的任何特定的「勝利」都可以被另一台機器「壓倒」，而另一台機器能夠產生第一台機器所不能產生的答案，因此「同時戰勝所有機器是不可能的」，但這無關緊要。

問題不在於一個大腦和所有機器之間的不平等競爭，而在於是否有任何單獨的一台機器可以做到一個大腦所能做到的一切

要使機械論的論點成立，原則上，必須有可能產生一個獨立的模型，它能做到心智所能做到的一切。 這就像一場遊戲。電腦工程師在第一回合創造了一個—任何一個獨立的—心智的機械模型。 我指出它做不到但心智可以做到的事。 電腦工程師可以自由地修改他的模型，但每次修改時，我都有權在修改後的模型中查找缺陷。

如果電腦工程能設計出一個我找不到缺點的模型，那麼他的論點就成立了：如果他不能，那麼論點就不成立：既然——事實證明他一定做不到，那論點就被駁倒了。 要想取得成功，他必須能夠創造出某種明確的心智機械模型——隨他樂意，但他可以具體說明，並將堅持下去。 但是，由於他原則上不能產生任何足夠強力的模型，即使破綻很小，他也必然會失敗，而機器必須是失敗的。

還可以更進一步的來反駁，哥德爾定理只適用於演繹系統而人類思維能做到的不僅僅只是推理演繹。 哥德爾定理只適用於一致的系統，而人類是否是一致的，這在很大程度上都值得懷疑。 哥德爾定理只適用於形式系統，而人類的聰明才智沒有先驗的限制，這就否定了我們創造出某種形式系統無法替代的人類複製品的可能性。

Max Ernst

人類不僅僅局限於做出演繹推理，CG·亨佩爾和哈特利·羅傑斯都曾大力主張，一個合理的心智模型必須考慮到做出非演繹推理的可能性，而這可能提供了一種逃避哥德爾結果的方法。 哈特利·羅傑斯提出了一個具體的建議，即機器應該被程式設計來接受各種未被證明或證偽的命題，有時還可以把它們添加到公理清單中。 比如費馬的最後一個定理或者哥德巴赫猜想。 如果之後發現這些被添加命題會導致矛盾，那麼這些命題將被刪除，同時，這些命題的的反命題將被添加到定理清單中。 在這種方式下，一台機器很可能被構造成能夠產生某些正確的公式，而這些公式就不能根據其推理規則從原本的公理中獲得證明。 因此，證明頭腦比機器優越的方法可能就不再奏效了。

建造這樣一台機器是困難的。它不能接受所有不可證明的公式，並將其添加到自己的公理中，否則它會發現自己接受了哥德爾公式和其否定，因此就是不一致的。它也不會只接受每一對公式中的前者，並且把公式加入公理中。因為如果這麼做了，那麼它將不再把公式的否定看作是不可判定的，所以永遠也不會接受它：因為這可能導致機器在兩個選項中選出錯誤的那個選項：它可能接受哥德爾公式的否定，而不是哥德爾公式本身。

公理的良序集構成的系統，與哥德爾公式的否定相鄰，雖然不矛盾，卻是一個不健全的系統，不被常理所認可。它有點像二維的非笛沙格幾何：實際上並不是不一致的，而是錯誤的，這足以使其失去納入考慮的資格。一台容易發生這種不良運行的機器，是不夠資格成為人類大腦的模型的。

顯然，在選擇不可證明的公式時需要相當嚴謹的標準。哈特利·羅傑斯提出了一些可能的建議。但是一旦我們有規則生成新的公理，即使所生成的公理只是暫時被接受，並且如果發現它們導致不一致，就可能被再次丟棄，那麼我們還是可以在這個系統上著手使用哥德爾方法，就像任何其他的系統一樣。當我們有規則生成無限集合的哥德爾公式作為公理時，我們依然可以使用同樣的方法。簡而言之，不管一台機器是如何設計的，它都必須隨機地或按一定的規則運行。

只要它的過程是隨機的，我們就不能勝過它：但它所表現出的不會是對智能行為的令人信服的模仿：只要它的過程符合明確的規則，就可以用哥德爾方法產生一個公式，根據這些規則，機器將不能斷言它是真的，儘管我們站在系統外，可以看出這是真的。

而且，正如哥德爾在他的第二個定理——他的第一個定理的推論—中表明的，在一個一致的系統中，系統不可能證明自身是一致的。

因此，為了通過產生一個我們既可以說它是真的又不能證明它是真的的公式來對機器進行故障診斷，我們可以說機器（或者說，它相應的形式系統）是一致的；但並沒有絕對的證據能證明這點。我們所能做的就是檢驗這台機器，看它是否一致。始終存在一些尚未檢測到的不一致的可能性。

我們最多只可以說機器是一致的，前提是我們自身是一致的。但我們憑什麼這樣做呢？

Sylvain Gaussens

哥德爾的第二個定理似乎表明，一個人不能斷言他自己的一致性，因此哈特利·羅傑斯認為，我們不能真正使用哥德爾的第一個定理來反駁機械論的論點，除非我們可以說「人有特殊性能夠超越這最後的局限性，但依舊保持一致性。」

如果一個人的一致性受到質疑，他的理性反應就是激烈的肯定自己的一致性：但是，鑒於哥德爾的第二定理，一些哲學家認為這恰恰是他實際不一致的證據。

普特南教授認為人是機器，但卻是不一致的機器。 如果一台機器被連接到一個不一致的系統上，那麼就不會有一個界定良好的公式，它就不能產生一個為真的公式；但也不能因此證明它比人差。 我們也不能把它的不一致當作是對它的責備—難道男人也不一致嗎？當然是，女性、政治家、甚至男性非政治家有時也自相矛盾，一個不一致就足以使一套系統不一致。

我們有時都是不一致的，這一點不能否認，但從這一點來看，我們並不等於是不一致的系統。我們的不一致是我們犯錯，而不是原本的運行機制。這對應於機器偶爾出現的故障，而不是它的正常運作模式。有一點可以證明，當我們認識到自身的不一致時，我們會試圖糾正。

如果我們真的是不一致的機器，我們應該會滿足於我們的不一致，並且樂於接受矛盾。

此外，我們將不會做出任何絕對的判斷。這很容易證明，在一個不一致的形式系統中，一切都是可證明的，而一致性的必要條件是，並不是所有的東西都能在其中被證明，這不是「做什麼都行」情況。

這當然是人類心理活動的一個特點：他們是有選擇性的：他們確實區分喜歡的——對的—和討厭的—虛假的—陳述：當一個人準備說任何話，並且準備不帶任何疑慮或反感地反駁自己時，他就被判「失去理智」。人類雖然不完全一致，但與其說是不一致，不如說是容易出錯的。

……（請見下篇）