上古漢語的邏輯結構 033

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動

二

有了萊布尼茲的命名和貝努利的初步界定，函數關係被正式放在桌面上，毫無遮掩地進入了公元十八世紀歐洲數學工作者的視野。

公元1748年，另一名瑞士數學家，多產的歐拉出版了《無窮小分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum) 一書，幾乎完全是關於函數的應用，因為歐拉聲稱 (數學) 分析學 (Analysis) 是變元及其函數的普遍科學。書中，歐拉為函數下了另一個定義﹕

(F_E1) 一個變元量的涵數為一個分析式 (expressio analytica)，不論此式如何包含該變元量及數或常元量。[Youschkevitch 1976: 61]

歐拉的定義看來像極貝努利的定義，但兩者其實有很大的差別。

主要的差別有兩個。

一，歐拉認為函數是個分析式。雖然他沒有為「分析式」一詞下定義，但按公元十七及十八世紀之交，歐洲數學工作者正進行分析³³ 的「去幾何化」的歷史過程，也就是說，對問題的理解和求解，當時的歐洲數學工作者開始脫離幾何的思考方式，並轉換到代數的角度去看數學世界，可以猜想歐拉說的「分析式」大概是代數式。假如讀者還記得，笛卡兒那時已經嘗試採用代數式去表述幾何特性，因此他的幾何被稱為「解析幾何」或「分析幾何」，所以，當歐拉認為函數是個分析式，他是提出了函數的形式表述應該用代數式表示。這等如是做了一個方向性的論述。

二，歐拉還界定了常元量和變元量，作為輔補定義，分別為﹕

• 常元量﹕一常元量為一確定量，恆常保有同一值。[同上]
• 變元量﹕一變元量為一不確定量或一包含所有確定值的普適量 (quantitas universalis)。[同上]

變元的值為不確定，因此「一變元量為一不確定量」對現代讀者來說是明白不過了﹔但「一變元量為 ... 或一包含所有確定值的普適量」應該如何理解呢﹖

定義中的這個部份需要解釋一下。

「一個包含所有確定值的普適量」實在指稱一個替換集，即某函數 f(x)  中 x 的替換集，也就是 x 的所有可能值。譬如 f(x)＝x＋1，並設定替換集為整數 ℤ，那麼「一個包含所有確定值的普適量」指稱的就是 {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 中的任一元素﹔顯然，{…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 中的每一個元素，比如 -1 或 108，都是個確定值。

歐拉賦予常元量和變元量定義毫無疑問豐富了函數的內容。

值得一提的是，至此，記號 (比如「x」) 與記號的指稱 (比如某量) 還沒有清晰的劃分，因此公元十八世紀的歐洲數學工作者仍然有比如「變元量」的說法，在語言上還是混淆了兩個日後哲學學者和邏輯學者認為必須辨別的概念。

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³³ 基於歷史發展的一些偶然性，分析和微積分的關係有點糾纏不清。有些德國大學的數學系甚至只有分析學，沒有微積分學。有一個辨別分析和微積分的籠統說法認為分析理論性質居多，而微積分是分析的應用部份。另一個同樣籠統的說法認為分析的研究領域比微積分的研究領域更廣。在這裡，我們不作深究。

待續