用瓶蓋、空瓶兌換，最多可以喝到幾瓶汽水(解答篇)

首先恭喜跳鼠飛行日記 答對～～！！感謝採取本咚的建議，用土法煉鋼的方式列舉得到答案，在步驟那麼多的情況下，要能完整列對非常不容易👍

底下本咚針對這道問題進行一些補充～

（解答與觀念延伸的來源一樣是數學傳播39卷1期---張鎮華教授的文章）

題目回顧

一群朋友有20元想買汽水，1瓶汽水賣2塊錢，2個瓶蓋可以兌換1瓶汽水，4個空瓶也能兌換1瓶汽水，試問他們最多一共可以喝到多少瓶汽水？

步驟１　買汽水

這是全部裡面最簡單的一個步驟，２０÷２＝１０，同時我們要假想這１０瓶汽水瞬間被朋友們「乎乾啦」（喝光），這樣就會有１０個瓶蓋、１０個空瓶。

步驟２　用瓶蓋換汽水

由於得到１０個瓶蓋，１０÷２＝５，可以用瓶蓋換得５瓶新汽水。

步驟３　用空瓶換汽水

由於得到１０個空瓶，１０÷４＝２...２，可以換得２瓶新汽水，剩２個空瓶。

接下來，結合步驟２、３，一共可換得７瓶新汽水。

再度瞬間喝光，又得到７個瓶蓋、７個空瓶（加上原有的２空瓶，共９個空瓶）

然後再重複進行步驟２、３，直到無法繼續兌換為止。

列表如下：

以本題來說，列舉完畢即可，得到正解為３５瓶。

補充１　如果再買１瓶

上述的結論是剩下１瓶蓋、３空瓶，都是差一點點就能再換到１瓶新汽水。

假如我們生出２塊錢，嘗試再買１瓶新汽水。

再次列表如下：

從表中可得，再買１瓶產生的連鎖效應，一共可以多獲得４瓶。

同樣，如果此時再多買１瓶，又可以再獲得４瓶。

補充２　通式（一般項）

一開始的買１０瓶是題目設定，假如一次要買１００瓶，要用列舉的方式會太過困難，我們可以想辦法找出一個通式，也就是能夠表示「買ｘ瓶汽水，一共可以換得多少瓶汽水」的一般項（可以直接把數量代進去計算），我們得從頭思考起。

嘗試買不同數量的汽水，最多可以喝到多少瓶（以下只列結果）

• 假如只買１瓶汽水，那就只能喝到１瓶。
• 假如買２瓶汽水，可以喝到３瓶。（剩１瓶蓋、３空瓶）

此時再多買１瓶汽水，如同＜補充１＞提到的結果，可以多獲得４瓶，也就是說，買３瓶汽水可以喝到７瓶。

之後每多買１瓶汽水，都會多獲得４瓶新汽水，這個每次增加固定數量的概念，在國二下學期第一章會學到，叫做等差數列。（小學教間隔問題時可能也會略有提及，如果參加過私中考試應該也會接觸過類似題目）

從買２瓶汽水開始，每多買１瓶，就可以多獲得４瓶，代表此等差數列公差為４。

這樣我們就曉得，買３瓶＝３＋４＝７瓶，買４瓶＝３＋４＋４＝１１瓶。

買３瓶要加１個４、買４瓶要加２個４，代表買ｘ瓶需要加（ｘ－２）個４

因此我們得出結論如下：

買ｘ瓶汽水（ｘ≧２），一共可喝到３＋４×（ｘ－２）瓶汽水

也可以稍微化簡變成４ｘ－５瓶汽水。

以上講解過程全部來自於文章中的連結，且文中尚有許多觀點礙於篇幅未能分享，有興趣的朋友歡迎點擊連結閱讀。