1.1 句子成份
1.2 函數概念小史
1.3 弗雷格的函數概念
五
弗雷格要我們注意一個現象,假如我們稱「x」為一個「論元」(argument),
1.3_7 2.13+2 ﹑
1.3_8 2.23+2 ﹑
1.3_9 2.33+2 ﹑
...
都可以被視為內藏同一個函數 (2.x3+2),雖然它們各自有不同的論元 (嚴格來說是論元值﹗)。
由此,我們可以辨別
1.3_10 2.x3+2
和字母
1.3_11 x
是兩個不同的東西。
事實上,上述函數可以寫作
1.3_12 2.(...)3+2
亦無不可。這個寫法明確指出「x」是個佔位符。
弗雷格的眼光在於他看到論元不屬於函數。按上文/弗雷格的理解,一個演算表式可以劃分成兩個部份﹕論元的符號和函數的表式﹔但兩者不同,因為論元 (即論元符號的指謂)是個數字,而且本身便已經是完整的 (即在意義上明確﹑自足),函數 (即函數表式的指謂) 不是。
從「2.(...)3+2」表式的結構外觀便可以清楚見到函數是不完整的 (即在意義上不明確﹑不自足)。這突出了函數的一個主要特徵,就是不完整性。論元是完整的 (在所用的例子中),而函數是不完整的。一旦將兩者的位置做如上的界定,再加上我們對函數的特殊行為 (「x」的函數的值來自賦予「x」的值) 的認識,不完整 (unvollständig) 或有待飽和 (ungesättigt) 的函數可以被飽和而變得完整 (vollständig)。弗雷格稱以某論元飽和某函數的結果為「該函數以此為論元的值」47。
同樣,我們也可以把
1.3_13 Caesar eroberte Gallien
[英譯﹕Caesar conquered Gall 或漢譯﹕凱撒攻佔了高盧]
一句分解作兩個部份﹕「Caesar」(凱撒) 和「eroberte Gallien」(攻佔了高盧),並且視「eroberte Gallien」為函數,「Caesar」為論元。[Frege 2008: 12]
如果我們採用這個觀點,我們可以說「Caesar eroberte Gallien」(凱撒攻佔了高盧攻佔了高盧) 是「eroberte Gallien」(攻佔了高盧) 函數以「Caesar」(凱撒) 為論元的值。
當然,對弗雷格來說,所謂的「值」(value) 是語句的真值,這是以建立他的新邏輯為目的的取向﹔但若以建立語構系統為目的,我們亦不妨視 1.3_13 的值為合式句子。
下章將詳細論述這個可能性。
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47 Der Wert der Funktion für dies Argument,英譯是「The value of the function for this argument」。
待續