拉馬努金留下的未解之謎公式!

更新 發佈閱讀 3 分鐘

數學天才斯里尼瓦瑟·拉瑪努金(Srinivasa Ramanujan)留下了許多深奧而優美的數學公式和猜想,部分至今仍未完全解釋或證明。以下是一些與拉瑪努金相關的未解之謎或尚未完全理解的公式:


1. 模形式與拉瑪努金 τ 函數


拉瑪努金定義了一個名為 τ 函數 的數列,與模形式密切相關: 其中,τ(n) 是著名的拉瑪努金 τ 函數。他猜測並證明了 τ 函數具有一些特殊性質,但其深層結構仍未完全理解。例如,τ 函數與模形式的關聯是否還隱藏了更深的數學結構?



---


2. 數論恆等式


拉瑪努金留下了許多涉及分割函數 的恆等式,但部分未完全理解。例如,他提出了一些分割函數的漸近公式和模 5、7、11 的整數分解性質(即「拉瑪努金分割定理」)。儘管有些已被證明,但完整的理論框架仍有進一步探索的空間。



---


3. 神秘的漸近公式


拉瑪努金在筆記本中留下了許多漸近公式和近似值,例如與 、、和伽瑪函數相關的公式。有些公式沒有明顯的推導過程,例如:


\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 + a^2} = \frac{\pi}{2a} \coth(\pi a) - \frac{1}{2a^2}.



---


4. 拉瑪努金恆等式


拉瑪努金的恆等式如魔術般深奧,例如著名的:


1 + 2 + 3 + 4 + \dots = -\frac{1}{12}.



---


5. Q-級數與虧格零模形式


拉瑪努金對 Q-級數的研究揭示了數論中的深刻結構。例如,他的著名公式:


\frac{1}{1 + e^{-2\pi}} + \frac{1}{1 + e^{-4\pi}} + \frac{1}{1 + e^{-6\pi}} + \dots = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}.



---


6. Mock Theta 函數


拉瑪努金在他生命的最後階段研究了所謂的 Mock Theta 函數,這些函數看似與模形式有關,但具有不同的轉換性質。例如:


f(q) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n^2}}{(1 + q)^2 (1 + q^2)^2 \dots (1 + q^n)^2}.



---


7. 拉瑪努金常數與超越數


拉瑪努金在筆記中提出的數學常數,例如:


e^{\pi \sqrt{163}}



---


拉瑪努金的公式和猜想已經激發了數學界數十年的研究,並促使數論、模形式、和特殊函數等領域取得突破。然而,他的思考方式和未解公式背後的深層直覺仍是數學家試圖解開的謎題之一。



留言
avatar-img
留言分享你的想法!
avatar-img
一直都放在房間
10會員
612內容數
萬物皆空.. 需要的 只是一個乾淨明亮的地方
一直都放在房間的其他內容
2025/04/29
雪大得像一場不急著停的夢。 鄒縱天提著劍,踩著沒過腳踝的積雪,一步一步逼近那個垂死的人。 殺戮對他來說像是習慣,像呼吸一樣簡單。 他低頭,一劍便可了斷。 劍還未落下,一道白色的人影輕輕擋在了前頭。 白得不真實,像霧裡開出的花。 「夠了。」她說,聲音裡沒有起伏,只是
2025/04/29
雪大得像一場不急著停的夢。 鄒縱天提著劍,踩著沒過腳踝的積雪,一步一步逼近那個垂死的人。 殺戮對他來說像是習慣,像呼吸一樣簡單。 他低頭,一劍便可了斷。 劍還未落下,一道白色的人影輕輕擋在了前頭。 白得不真實,像霧裡開出的花。 「夠了。」她說,聲音裡沒有起伏,只是
2025/04/27
夜裡,鄒縱天翻身無數次,床單皺成一片陌生的海。 他拿起手機,指尖滑過冷冷的螢幕。 社群平台影片跳了出來。 標題寫著: 【1秒都不能餓到】 貪吃兔守候餵食機 飼料掉落秒歪頭大口吃取 畫面裡,兔子蹲坐在機器下,眼睛圓滾滾,耳朵緊貼著背脊,身子微微發抖。 飼料落下的聲音很輕,
2025/04/27
夜裡,鄒縱天翻身無數次,床單皺成一片陌生的海。 他拿起手機,指尖滑過冷冷的螢幕。 社群平台影片跳了出來。 標題寫著: 【1秒都不能餓到】 貪吃兔守候餵食機 飼料掉落秒歪頭大口吃取 畫面裡,兔子蹲坐在機器下,眼睛圓滾滾,耳朵緊貼著背脊,身子微微發抖。 飼料落下的聲音很輕,
2025/04/27
法蘭西斯卡從小便擁有一種異於常人的能力。 那年她五歲,站在公車站排隊。陽光炙烤著柏油路面,影子被拉長、拉薄,人群靜默,只有鞋跟在地上輕輕摩擦。 排在她前面的是一位穿著花裙的女人。她身上蒸騰著一股異樣的氣味——不是汗水,不是香水,而是一種從骨縫中滲出來的心事。 法蘭西斯卡皺起鼻子,大聲喊道:
2025/04/27
法蘭西斯卡從小便擁有一種異於常人的能力。 那年她五歲,站在公車站排隊。陽光炙烤著柏油路面,影子被拉長、拉薄,人群靜默,只有鞋跟在地上輕輕摩擦。 排在她前面的是一位穿著花裙的女人。她身上蒸騰著一股異樣的氣味——不是汗水,不是香水,而是一種從骨縫中滲出來的心事。 法蘭西斯卡皺起鼻子,大聲喊道:
看更多
你可能也想看
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.4 函算語法 1.4.1 語法範疇理論導論 1.4.2 函算語法與函數概念 一 上節是對語構範疇理論的簡介。 1922年,列希涅夫斯基提出了語構範疇概念,以此取代人工化的型論,並引入到他的三個形式系統中66,以圖避免羅素悖論及其它集論悖論的出現。 艾杜
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.4 函算語法 1.4.1 語法範疇理論導論 1.4.2 函算語法與函數概念 一 上節是對語構範疇理論的簡介。 1922年,列希涅夫斯基提出了語構範疇概念,以此取代人工化的型論,並引入到他的三個形式系統中66,以圖避免羅素悖論及其它集論悖論的出現。 艾杜
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.3 弗雷格的函數概念 三 弗雷格認為這樣的一個定義 —— 即李善蘭從德摩根借來的函數定義 —— 不能接受,因為它「沒有區別外型與內容﹑記號與所記 ...」43。美國邏輯學家奎因的《數理邏輯》(Mathematical Logic 1940) 在哲學和邏輯的
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.3 弗雷格的函數概念 三 弗雷格認為這樣的一個定義 —— 即李善蘭從德摩根借來的函數定義 —— 不能接受,因為它「沒有區別外型與內容﹑記號與所記 ...」43。美國邏輯學家奎因的《數理邏輯》(Mathematical Logic 1940) 在哲學和邏輯的
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 1.2.6 熱的傳導 1.2.7 十九世紀的尾聲 四 公元1887年,德國數學家理查德‧戴德金 (Ri
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 1.2.6 熱的傳導 1.2.7 十九世紀的尾聲 四 公元1887年,德國數學家理查德‧戴德金 (Ri
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 五 特朗貝爾依循當時數學界對函數的普遍理解,視「函數」為任一分析式。 但這時的歐拉宣稱函數不必是正常意義下的
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 五 特朗貝爾依循當時數學界對函數的普遍理解,視「函數」為任一分析式。 但這時的歐拉宣稱函數不必是正常意義下的
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 二 有了萊布尼茲的命名和貝努利的初步界定,函數關係被正式放在桌面上,毫無遮掩地進入了公元十八世紀歐洲數學工作者
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 二 有了萊布尼茲的命名和貝努利的初步界定,函數關係被正式放在桌面上,毫無遮掩地進入了公元十八世紀歐洲數學工作者
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 一 前文提到萊布尼茲與瑞士數學家約翰‧貝努利有過關於「函數」的通訊。現在談一下貝努利。 貝努利關心的其中
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 1.2.5 弦的振動 一 前文提到萊布尼茲與瑞士數學家約翰‧貝努利有過關於「函數」的通訊。現在談一下貝努利。 貝努利關心的其中
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 四 牛頓的「流數」不久便淡出歷史的舞台,後來的數學工作者選擇了萊布尼茲比較抽象的「函數」。 公元1673年,萊布尼茲在一篇名為〈觸線
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 四 牛頓的「流數」不久便淡出歷史的舞台,後來的數學工作者選擇了萊布尼茲比較抽象的「函數」。 公元1673年,萊布尼茲在一篇名為〈觸線
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 一 踏入公元十七世紀,微積分逐漸成形,而主要的貢獻來自德國數學家及哲學家萊布尼茲和英國數學家及物理學家牛頓。27 但兩人發展微
Thumbnail
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法 一 踏入公元十七世紀,微積分逐漸成形,而主要的貢獻來自德國數學家及哲學家萊布尼茲和英國數學家及物理學家牛頓。27 但兩人發展微
追蹤感興趣的內容從 Google News 追蹤更多 vocus 的最新精選內容追蹤 Google News