終於來的線性回歸，高中學的線性回歸是 y=ax+b， 但在數據集中，哪一條線性回歸預測是最適合的呢？計算過程中會使用到梯度下降和損失函數的概念。
圖片截圖自：Gradient Descent, Step-by-Step
線性回歸 (Linear Regression) 簡單介紹
線性回歸是一種用來預測的數學模型，目的是找到一條直線，讓這條直線可以盡可能貼近數據點。我們可以利用這條直線來預測未來的值，比如根據重量預測高度。
線性回歸的流程
- 收集資料：準備好你需要的數據，例如重量 (X) 和高度(Y)。
- 建立模型：假設我們的預測公式是直線的形式： y=wx+b其中，w是斜率（slope），b 是截距（intercept）。
- 計算誤差：找出這條直線和真實數據的誤差，用來評估模型的準確性。
- 優化模型：使用「梯度下降法」來調整 w 和 b，讓模型誤差更小。
- 測試模型：用新數據來驗證模型的效果。
詳細流程說明
下圖 0.64 是我們給的斜率（slope）， intercept 是截距的意思，若截距的值是當ｘ＝０，ｙ的值，也就是距離原點多遠
第二步，計算資料點到回歸線的距離。因為有些點是在線下面，避免正負抵銷，所以使用「均方誤差 」(MSE, Mean Squared Error)
第一個點的實際ｙ是1.4，預測 y 套用模型算出來的值是 1.1
將所有的點畫出來，形成損失函數（實際點到預測點距離誤差）。最低點是損失函數Loss/Cost function (MSE loss)的點，但如何確定這個最低點是真的最低點？我們每次都要一個一個點慢慢找嗎？其實有個方法是梯度下降 (Gradient Descent) 可以迅速找到最低點。
再講解梯度下降的微積分數學之前，我們先來簡單看這兩個概念的目的
梯度下降 (Gradient Descent) & 隨機梯度下降 (Stochastic Gradient Descent)
- 梯度下降 (Gradient Descent)
- 用來優化模型的演算法，目的是讓 Loss 越來越小。
- 模型會根據 Loss 的變化來調整 w 和 b
- 隨機梯度下降 (SGD)
- 每次只用一筆數據點來計算 Loss，讓演算法更快適應大量數據。
圖解：可以用一個 Loss 曲面圖，畫出梯度下降一步步逼近最低點的過程。
數學時間到~
先看其中一個曲線所形成的點微分做示範，計算過程會用到 Chain Rule （降次，先微外再微內） 跟 Power Rule
可以參考這篇文章：AI模型訓練的數學基礎：微分入門教學
因此會得到 -2(1.4-(intercept +0.64*0.5)是他的微分結果。
intercept 是截距的變數，若截距設定為 0 那麼可以得到 -5.7，這有什麼目的呢？最低點微分會接近０
Learning Rate 與下一個點的計算
問題來了，該如何決定調整的幅度？
在 Gradient Descent (梯度下降) 中，我們希望找到損失函數 (Loss Function) 的最低點，這代表模型的誤差最小。為了達到這個目標，我們使用微分來計算斜率，並根據這個斜率來調整參數，一步步朝向最低點移動。
1. Learning Rate (學習率) 是什麼？
Learning Rate (學習率，記作 α) 是一個超參數（在訓練前要自訂），決定我們每次更新參數的步伐大小。它影響：
- 學習率太大：容易錯過最佳點，甚至導致發散 (不收斂)
- 學習率太小：收斂速度太慢，需要很多次迭代才能找到最佳解
這就是為什麼選擇合適的學習率很重要。
2. 計算下一個點
我們的目標是 透過梯度下降來更新參數 θ，讓它逐步接近最佳解。
- 計算損失函數的梯度 (Gradient，∇J(θ))
- 這是透過 微分 (Derivative) 來計算
- 代表損失函數在當前點的斜率，指示該點應該往哪個方向調整
- 計算 Step Size (步長)
- Step Size = 梯度 × Learning Rate
- 這決定了我們應該向哪個方向前進，以及移動的距離
- 更新參數
- 新參數 = 舊參數 - Step Size
- 為什麼是減號 (-)？因為梯度代表的是「上升」的方向，而我們要最小化損失，因此應該朝「相反方向」前進。
做到什麼時候停止呢? slope 接近０，但實際上很困難，所以只要 Step size 接近0.001 就好了。
另外，實際上不會只有一個參數，模型會有多個參數呈現立體，或是物理無法想像的多維度，所以才要用微分與梯度下降快速找到損失函數最低的點。
至於這些理論如何在程式碼實現，下一篇我會介紹
1. 手刻梯度下降法 (Batch Gradient Descent)
- Scikit-Learn 套件
