向量內積、方向導數與梯度：從數學到機器學習

向量內積

向量內積的意義：

如果 cos⁡θ=1，兩向量方向完全相同，內積等於向量大小的乘積。所以同向

圖片截圖自：https://youtu.be/8tTh-SIhZW0?si=zDDftp6lHIw-MoQF

內積的計算方法

內積還可以用分量來計算：

方向導數與梯度的關係

先記住這兩個概念

想像你站在一個山丘上，周圍的地形起伏不平。計算梯度向量先看哪個最陡， 根據向量的長短，再計算該方向的變化速率。

• 生活化比喻：在地圖上梯度可以幫助你找到山坡最陡的上坡路，而方向導數告訴你沿著每個小徑的變化情況。
• 在機器學習：使用梯度下降法（Gradient Descent），我們可以找到函數的最低點（比如最佳模型參數）。

梯度向量（Gradient Vector）：

• 表示函數在某一點上，往哪個方向增長最快。
• 梯度向量的大小（模長）代表增長最快時的速率，而方向則是最陡增長的方向。

方向導數（Directional Derivative）：

• 表示函數在某一點，沿著某一特定方向的變化速率。
• 如果方向正好與梯度一致，方向導數就等於梯度的大小。

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梯度的數學公式

梯度是一個向量，表示函數在每個自變數方向上的偏導數值：

• 再複習偏導數：意思是「函數 f 對 x₁的變化速率」，假設其他變數 x2,x3...... 都不變。

Gradients and Partial Derivatives

以這個圖來說，就是看 Z 在對 Y。

透明的線是梯度

方向導數的數學公式

• u：單位方向向量，表示方向。
• cos⁡θ：梯度方向與給定方向 u 之間的夾角的餘弦值。

二變數函數是U型 (參考 ChatGPT)

以上是我為學習AI理論前再複習數學觀念的筆記，如有錯誤請不吝指正~