AI模型訓練的數學基礎：微分入門教學

AI 模型訓練背後的邏輯需要有「微分」跟方向導數的先備知識，後續才可以對 AI 領域相關的名詞，以及訓練模型的損失函數有更深的了解。本篇先介紹微分，向量內積和方向導數會獨立一篇介紹。在往下看之前需要複習二項式定理、呼叫高中的斜率截距。不過微分我高中也沒學過，所以就一起學習吧！

人工智慧與機器學習會用到數學？

訓練模型時的損失函數微分（如梯度下降法）。所以要學習導數（微分）的定義，微分又有兩大定理：

• • Power Rule
  • Chain Rule

微分公式的推導與極限運算

微分公式的推導與極限運算

微分的定義涉及到極限和多項式的展開。需要有排列組合和二項式定理的先備知識

以下是微分的定義，看不懂很正常，下文有代入數字的示範：

極限的功用

上面的Lim 是極限的意思，極限是微積分的基礎工具，用於描述函數在某一點附近的趨勢或行為，特別是當某變數趨近某值（或無窮大）時的變化。

而f'(x)就是

功用與應用

1. 描述變化趨勢：
2. • 幫助我們理解函數的行為
   • 解釋極端情況（如無窮小或無窮大）的數學性質。
2. 為導數與積分奠定基礎：
3. • 微分的定義：導數是通過極限來計算瞬時變化率。

• 微分和極限的關係

微分公式中的斜率是基於「兩點間的斜率」計算得來，但兩點越靠近（h→0），我們實際上求的是極限。所以，微分可以看作是利用極限算出曲線某點的瞬時斜率。另外還有一些特性

微分實際例子：以實際切線斜率計算

當我們用 X² 來解釋微分概念時，可以這樣理解：

微分是什麼？

假設函數是 f(x)=x^２，我們要知道它在某一點的瞬間變化率（比如在 ）。這就是微分的用途：幫助我們找到曲線上某一點的「切線斜率」。

但因為切線只碰到曲線上的一個點，無法直接用公式算，所以我們用「兩點間的斜率」來逼近切線的斜率。

藍色是f(x)=x 2次方的函數圖形

兩點間的斜率公式

斜率的公式是：

這裡 h 表示兩點之間的距離，隨著 h→0，這兩點就越來越靠近。

這是我的手寫筆記，不過為了排版整齊，只好請 GPT 幫我輸出數學公式了。

微分和極限的關係

微分公式中的斜率是基於「兩點間的斜率」計算得來，但兩點越靠近（h→0h \to 0h→0），我們實際上求的是極限。所以，微分可以看作是利用極限算出曲線某點的瞬時斜率。

講完斜率，我們來看微分的常用公式

Power Rule：次項拉到係數，再降一次

1. d 的意義：

在這裡，d 表示微分運算（derivative operator）

意思是「對 x 進行微分」。它告訴我們要計算一個函數相對於 x 的變化率。

例如：

2. Power Rule 的應用：解釋如何變成 2X

Power Rule 的公式：

次數拉到係數：Power Rule 的核心，將 n 拉到前面當作係數。

降一次次數：Power Rule 的另一部分，將 xⁿ 的次數 n 減少 1。

示範習題：結合二項式定理的微分

微分

計算步驟：把次項拉到常數再降一級

Chain Rule 鍊鎖律：先微外再微內

有大函數包小函數的狀況，也可以理解成有很多層括弧的情況。通常會跟 Power Rule 一起使用。

再舉個例子：

多變數偏微分　(有 X 和 Y）

偏微分 (Partial Differentiation)

• 對象：多變數函數 f(x,y,z,… )。
• • 例如：f(x,y)=x²+y²　
• 目的：研究函數對某一個變數的變化率，其他變數視為常數不變。

以上就是我的學習筆記，圖中公式是靠 ChatGPT 協助生成，如果錯誤請不吝指正！

備註：好感動！外文系畢業後居然還可以保有數學腦，高中數學真的沒有白學～