機率：
有趣的機率問題：
Q: 假設 在一個路口，1hr 內遇到車子經過的機率是0.8，請問15min內遇到車子經過的機率是多少？
A: 假設15min內遇到車子的機率是P，那連續四個15min都沒遇到車子的機率就是(1-P)⁴ = 0.2 ，解完式子就能算出答案。
Q: 假設小明、小華分別會在6:00am ~ 7:00am這個時間到定點，到定點後會待15分鐘，請問兩人會相遇的機率有多少？
A: 假設X是小明到的時間點，Y是小華到的時間點，解 |X-Y| ≤ 1/4的面積，1-(3/4)²=7/16。
Q: 箱子有 100 條線，每次拉兩個線頭接一起，最後都是環時期望上有幾個環
A: 用遞迴的方式思考。假設 \(E_n\) 是有\(n\)條線時的期望環的數量。則我們有以下的遞迴式：
\[E_n=\frac{1}{2n-1}(1+E_{n-1})+\frac{2n-2}{2n-1}E_{n-1}\]
解\(E_n\)為 \(\frac{1}{2n-1}+E_{n-1}\)，然後利用\(E_1=1.\)
其中\(1/(2n-1)\)是以下事件的機率：手裡拿一條的某一端，則挑到的剛好是同一條另一端的機率
又或者也可以想成 從\(2n\)個端點選兩個，會形成一個環的機率為\(\frac{n}{\binom{2n}{2}}=1/(2n-1).\)
另一種想法是，算出每次挑完的期望值。像是我們做一一次挑選，得到環的個數的期望值為
\[\frac{1}{2n-1}*1+\frac{2n-2}{2n-1}*0=\frac{1}{2n-1}.\]
然後我們發現做完一次後，不管是哪個情況，剩下可以挑得繩子數會變成\(n-1.\)
然後我們需要做\(n\)次，所以期望值為\(E=\sum_{i=1}^n \frac{1}{2i-1}.\)
Q: 一個公正硬幣，拋到連續三個正面停止，問期望次數為多少?
A: 理論：隨機過程中的renewal process。假設期望值為\(E\)。第一次有\(1/2\)拋到反面，作廢，期望次數為\(E+1\)。接著是拋到"正反"，機率為\(1/4\)，期望次數為\(E+2\)，拋到"正正反"，機率為\(1/8\)，期望次數為\(E+3\)，最後是直接三次正面，機率為\(1/8\)，期望次數為\(3\)。所以我們可以得到下面式子：
\[E=\frac{1}{2}(E+1)+\frac{1}{4}(E+2)+\frac{1}{8}(E+3)+\frac{3}{8}.\]
解\(E=14\)。
Q: 5個紅球，8個藍球，第一次抽一個放回去，接著每次抽一個，如果顏色和之前一樣就拿走，不一樣就放回去，問最後抽到紅球的機率是多少?
A: 待更新...
統計
注意倖存者偏差：
應該加厚哪個部位的裝甲?
亞伯拉罕二戰飛機損傷報告書： https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA091073.pdf
注意抽樣：
1936年美國總統大選，衝突的民調
寫給大家的統計學（Bayesian Statistics the Fun Way)：用許多生動的例子講述貝氏統計，很適合沒讀過貝氏統計的人入門。也有簡單描述A/B test
筆記：貝氏分析三步驟：
1.觀測資料 2.形成假設 3.根據資料來更新信念
D: 觀察到的資料
H: 假設
事前機率 P(H)：信念
概度 P(D|H): 信念對觀察結果做出多好的解釋
事後機率 P(H|D): 觀察結果有多支持自己的信念
\[ P(H|D)=\frac{P(H|D) P(H)}{P(D)}\]
給定一個硬幣，正面的機率為45%，則我們可以用二項式分佈算出投硬幣10次，出現5次正面的機率為何。
反過來，如果現在給一個硬幣，但我們不知道其正面的機率為何，要如何計算?
辦法是利用beta函數。假設我們對這個硬幣做了100次試驗，發現正面次數是45次，則利用
Beta(p, 45, 55)，我們可以估計這個硬幣正面機率為p的機率。
Beta 函數版本：
\[Beta (\alpha_{事後機率}, \beta_{事後機率})=Beta(\alpha_{概度}+\alpha_{事前機率}, \beta_{概度}+\beta_{事前機率})\]
利用以下的例子來理解：
假設找不到自己的錢，有幾種假設 \(H_1\):被偷了，\(H_2\):自己不知道放在哪裡
假設\(P(H_1)=1/1000\)和\(P(H_2)=1/2\)，而對於這兩個假設\(P(D|H_i)\)都為1。我們可以得到
\[\frac{P(H_2|D)}{P(H_1|D)}=500\]
代表第二個信念比較可信。但如果我們發現不只錢不見了，還發現書櫃的書都掉到地上，則\(P(D|H_1)>>P(D|H_2)\)。所以\[\frac{P(H_2|D)}{P(H_1|D)}\]可能就變成1/500了。
以上過程也可以使用Beta函數。
\(H_1\)的事前機率 \(Beta(1,999)\) (覺得不太可能發生，約1000天發生一次)
\(H_2\)的事前機率 \(Beta(500,500)\) (覺得1000天發生約500次)
那概度方面可以問其他人，或網路調查
\(Beta(600,400)\) (有將近40%的人有過錢被偷的情況)
\(Beta(800,200)\) (有將近80%的人有過自己忘記把錢放哪的情況)
則兩個假設的事後機率為
\(Beta(601,1399)\)
\(Beta(1300,700)\)
訊息理論
Q: 現在要開車穿越一個沙漠，車可以裝\(500\)升的油，每升可以走一公里，中途沒有加油站，必須自己運油，問最少需要多少油?
A: 理論：訊息學？ 可以看"實用算法的分析與程序設計"的第一題。
Q: 秤12個小球，其中一個重量不同，用天秤需要秤幾次才能找出來?
A: 理論：訊息理論entropy。
Q: 8個犯人每人頭上戴著帽子，黑或白。大家都可以看到別人的帽子，但看不見自己的。現在要一個一個回答自己帽子的顏色，可以不答，但至少需要一個人答對才可以活下來，如果沒人答對或有人答錯就全部處死。犯人可以先商量策略。問如何才能最大化生存概率?
A: 理論：訊息理論-編碼。 可以讀讀 Elements of Information Theory / Thomas Cover
其他尚未歸類
Q: 100層樓拋雞蛋，從某層樓會開始碎，問兩個雞蛋需要幾次才能找出來? 若雞蛋數目換成3或4呢?
A: 待更新...
書籍：
1. A Practical Guide to Quantitative Finance Interviews
2. Heard On the Street
3. Quant Job Interview Questions and Answers
