集體機率與時間機率

斗膽分享一些【塔雷伯‧神】所著【不對稱陷阱 第十九章 承擔風險的邏輯】的一些心得。

在思考投資風險機率時有一點相當重要，塔雷伯稱之為『遍歷性』（Ergodicity），什麼是遍歷性呢？大叔整理書中的幾段解釋你大略就會明白：

『遍歷性：就我們這裡的情境而言，當一段時間內，一群人和一個人有相同的統計特質（特別是期望值），遍歷性就存在。當我們觀察到的過去機率，不能用在未來的程序中，這情況被視為不具遍歷性。』

例如：某投資刊物幾乎每個月都會推出一位投資達人，就是李董有上鏡的那家。算了算也有幾十個投資達人出現在他們的專欄中了，這群達人多數是技術線型的、價值投資的、存股的、還有少少的指數化投資。

這一群投資達人的成功機率可以適用在你身上嗎？塔雷伯使用了下圖這麼解釋兩種『機率』：

第一種情境是：一百個人進賭場，在一段時間內，會全部輸光的機率稱為集體機率。第二十八號賭徒賠個精光。第二十九號賭徒會受影響嗎？不會。連續統計個100天後，最終你可以推算出一個機率，例如：每天就是1％的賭徒輸個精光。

第二種情境是：你打算連續進賭場豪賭100天，第二十八天你賠光了。還有第二十九天嗎？沒有，你被退學了，不叫畢業了。就算第一種情境是統計是1%機率輸光，對你而言賠光的機率是一○○％。

『第一種情形稱為集群機率（ensemble probability），第二種情形為時間機率（time probability；因為第一種情形和一群人有關，第二種情形是一個人經過一段時間的機率）。』

回頭想想剛剛一堆投資達人上周刊的話題，今天上周刊的投資達人，他的方法是一種集體機率下的成功者？還是時間機率的成功者？他的方法具有遍歷性嗎？再次提醒你所謂得遍歷性是指：

『遍歷性：就我們這裡的情境而言，當一段時間內，一群人和一個人有相同的統計特質（特別是期望值），遍歷性就存在。當我們觀察到的過去機率，不能用在未來的程序中，這情況被視為不具遍歷性。』

其實在回答這個問題前，還要先看塔雷伯的另一段話：

『在風險承擔業存活超過幾年的任何人，都有我們現在相當熟悉的原則版本，也就是「要成功，首先必須活著」。我自己的版本是：「如果一條河平均四呎深，絕對不渡河。」』

再回來思考幾種投資方法的『機率』，我們來看看下圖：

當你想要學習一個投資達人的方法前，以當沖與短線交易為例：短時間內集體機率的失敗率看起來不高，但是在思考時間機率時，以你的曝險程度，當你遇到投資失敗時，就會讓你遊戲結束。

長線投資的集體失敗率同樣是不高，以非系統風險為主。思考時間機率時，失敗率的曝險程度雖然不高，但是有一個缺點是：你沒辦法複製出跟投資達人一樣的績效表現，失敗率不高，但是成功率同樣也難提昇，你看再多達人的書也沒辦法。

最後則是指數化投資了，集體失敗率同樣是不高，而且通常會在系統風險發生時才會面臨到。而最重要的時間機率呢？

是的，你幾乎可以99%複製出你想學習的那位指數化投資達人的投資績效，這與前述幾種投資方法的時間機率完全相反。在同一時間下，所有已100%使用指數化投資的投資人，都會有相同的集體機率與時間機率。

這結果符合了一開始提到的『遍歷性』的定義：

當一段時間內，一群人和一個人有相同的統計特質（特別是期望值），遍歷性就存在。

這也是指數化投資與其他投資方法在機率上的最大差異了。

下文引述自：【不對稱陷阱 第十九章 承擔風險的邏輯】

現在是解釋遍歷性、毀滅和（再談）理性的時候。還記得我們說過，做科學（和其他好事）需要先求活著，而不是順序倒過來。

試想下面的想像實驗。第一種情形是：一百個人進賭場，在一段時間內，每個都賭一定的金額，一邊品嘗免費的加奎寧水杜松子酒──就和圖五的漫畫那樣。有些人可能賠，有些人可能贏，到了結束，我們可以推算賭場的「優勢」（edge）是多少，也就是，只要數數回來的人口袋裡還剩多少錢，就能算出報酬。因此能研判賭場是否正確地為它的勝算訂好價格。現在假設第二十八號賭徒賠個精光。第二十九號賭徒會受影響嗎？不會。

　　從樣本中，你可以很安全地算出約一％的賭徒會輸個精光。而且如果你一玩再玩，預期在相同的時間窗口內，會有大致相同的比率，也就是一％的賭徒輸個精光。

　　接著，我們拿這個結果和想像實驗中的第二種情形相互比較。有個人，也就是你的表兄弟特奧多魯斯・伊本・華爾卡（Theodorus Ibn Warqa），帶著固定的金額，一連進賭場一百天。第二十八天，特奧多魯斯・伊本・華爾卡賠光了。還有第二十九天嗎？沒有。他到了大叔點（uncle point）；1遊戲結束了。

不論你的表兄弟特奧多魯斯・伊本・華爾卡多會賭或多小心謹慎，你敢說他最後賠光的機率是一○○％。

　　一群人的成功機率，不適用於表兄弟特奧多魯斯・伊本・華爾卡。我們把第一種情形稱為集群機率（ensemble probability），第二種情形為時間機率（time probability；因為第一種情形和一群人有關，第二種情形是一個人經過一段時間的機率）。現在，當你閱讀財務學教授、財務學大師寫的東西，或者本地銀行根據市場的長期報酬率做出的投資建議，務必提高警覺。即使他們的預測是對的（事實不然），還是沒人能夠取得和市場相同的報酬率，除非他有深不見底的口袋，也沒有大叔點。他們把集群機率和時間機率混為一談。假如投資人因為虧損、退休，或者離婚再娶鄰居的太太，或者因為他在闌尾炎住院治療後突然海洛因成癮，或者對人生的看法改變，最後不得不減低曝險，那麼他的報酬率會和市場的報酬率脫鉤。就是這樣。

在風險承擔業存活超過幾年的任何人，都有我們現在相當熟悉的原則版本，也就是「要成功，首先必須活著」。我自己的版本是：「如果一條河平均四呎深，絕對不渡河。」我以順序很重要這一點，以及毀滅存在時，成本效益分析不管用為準，有效地安排自己的所有生活；但是我從來沒發現，決策理論的缺陷竟然那麼深。直到不曉得從哪裡冒出物理學家奧列・

彼得斯（Ole Peters）與偉大的默里・蓋爾曼（Murray Gell-Mann）合寫的一篇論文。他們用和我上面所說類似的想像實驗，提出集群機率和時間機率差異的一個版本，並且指出，社會科學和機率有關的幾乎每一件事都有瑕疵。瑕疵嚴重，非常嚴重。大致而言，可說是致命的瑕疵。數學家雅各布・白努利（Jacob Bernoulli）初步構築的不確定中決策，後來成了標準，此後二百五十年內，涉足這個領域的幾乎每個人，都犯了嚴重的錯誤，漏掉了集群和時間之間有差異的效應。每個人？倒也不見得：每個經濟學家可能都是，但不是人人都這樣：應用數學家克勞德・山農（Claude Shannon）和艾德・索普（Ed Thorp），以及提出凱利準則（Kelly Criterion）的物理學家凱利（J. L. Kelly）懂得。他們也是用非常簡單的方式就懂了。保險數學之父、瑞典應用數學家哈拉爾德・克拉梅爾（Harald Cramér）也懂。此外，二十幾年前，馬克・斯皮茨納格（Mark Spitznagel）和我之類的實務工作者，以它為準，建立起我們的整個事業生涯（我是在寫作，以及在交易與做決定時，很神奇就弄懂了，並且在違反遍歷性時，會深入探查，但我不曾清楚明白了解彼得斯和蓋爾曼的數學結構──二十年前的《隨機騙局》甚至討論過遍歷性）。斯皮茨納格和我甚至開創一整個事業，幫助投資人消除大叔點，好讓他們能夠獲得市場的報酬率。在我退休後無所事事時，馬克繼續在他的投資管理公司Universa孜孜不倦努力著（而且經營得相當成功）。不懂遍歷性的經濟學家一直說，擔心尾部是「不理性的」，令馬克和我倍感無奈。

　　我剛提出的觀念極其單純。但為什麼二百五十年內沒人很懂它的道理？顯然是缺少切膚之痛。

譯註：大叔點是指交易時棄子投降的點。有一說，羅馬時期，父親的兄弟，權力和地位相當於父親。羅馬的孩子遭到霸凌時，會被迫喊「大叔，我的好大叔」，表示打不過你，認輸，如此就能脫身。