餘裕與分配，Water-filling

本貓貓前陣子在學 Capacity of parallel Gaussian Channels 時，Water-filling 似乎是個相當泛用的概念。

所謂 Water-filling，可以視作一種資源分配的方法，用以在總資源有限的情況下作適當分配。儘管本貓貓是從通訊方法學到，就如同先前文章中《為什麼報酬未必越高越好？凱利公式提示》的 Kelly criterion，但是仍可以轉換成最佳化報酬率的問題。

首先注意到，當 μ 很小 (μ<<r_i)，此時所有 f_i>0，使得 n=N。
對於有限的調和平均報酬 H，此條件使得整體槓桿率 F>>1，為信用寬鬆環境。
此時有限的報酬率 r_i 相較於 μ，對於能獲得的資源 f_i 幾乎沒有影響。
所有 N 種可能性皆公平地收到押注。

反之，當 μ 夠大，此時罕有 f_i>0，使得 n<<N。
對於有限的調和平均報酬 H，此條件使得整體槓桿率 F<<1，為信用緊縮環境。 此時有限的報酬率 r_i 相較於 μ，對於能獲得的資源 f_i 至關重要。
只有 n 種可能性會收到押注，而 N-n 種其餘可能性則無法取得資源。

在 water-filling 的觀點中，受到押注、投資的比例 n/N，與整體槓桿率 F 密切相關。越是有餘裕的環境 (F 越大)，越能夠分配資源給報酬相對低的選項；反之當環境越窘迫 (F 越小)，則僅有的資源傾向集中到最優勢的選項。

對於一個社會或經濟體，依照其信用可以舉債而有對應 F>1，或是因樽節而使 F<1。通常對於成熟經濟體 F>1，而有餘力透入社會福利、公共財等並非以營利作為最優先目的的選項。而對於財政緊張的經濟體 F<1，則資源往往集中至大企業或個人手中。