RM的趣味數學006:怎麼分才公平

怎麼分才公平

小賢和小珊都很喜歡吃蛋糕，有一天媽媽買了一個蛋糕給他們兩人，當媽媽很公平的把蛋糕切成兩塊，要拿給他們的時候，兩個人就開始看著被分成兩半的蛋糕，但他們都沒有「孔融讓梨」和友愛的精神，所以都想選比較大的。

「我要這一塊。」小賢指著其中一塊大聲的說。

「不行！我也要這一塊。」小珊更大聲的回應。

「你比我小，我先選，我就是要這一塊。」小賢以大欺小，更大聲的說。

「媽媽，哥哥欺負我。」小珊就哭著跑到媽媽身邊說。

「真拿你們沒辦法。」媽媽無奈的說:「現在我提供一個方法，你們要先選一個人負責將蛋糕公平的分成兩塊，分好就不能在動刀了，另一個人先選擇切好的兩塊蛋糕中的一塊，剩下的那一塊就給切蛋糕的人。這樣你們覺得好不好！」

兩個人想了一下，如果是我切蛋糕，那我一定會切的剛好一半，這樣別人不管怎麼選，所選到的一定和我的一樣大，所以他們都點點頭，答應用媽媽提供的方法，然後他們以剪刀、石頭、布的方式決定誰切蛋糕，誰先拿切好的蛋糕，這時媽媽在旁邊辛苦的把已經分成兩塊的蛋糕「結合」成一個大蛋糕，然後他們依照媽媽的方式分配，最後兩人都很滿意的拿到一塊自認為比較大塊的蛋糕，並且高興的吃著。

過沒幾天，小賢的表弟阿強來找他們，剛好媽媽去菜市場買菜，當她回家時，手中又提了一個蛋糕，當媽媽一進門發現姪子阿強時，她就苦惱的想著：「慘了！怎麼辦！兩個已經很難分了！現在又多出一個，三個人要怎麼分，才會讓他們都滿意呢？」

各位讀者，請問你可不可以想一個辦法，讓三個小孩都吃到他們自認為是滿意的蛋糕？如果是N個人來分呢？要怎麼分才公平？

答案：

首先先考慮三個人的情況：

在三人當中，選擇一個人來操刀，將刀子的尖端放在蛋糕圓心的部位，先在蛋糕周圍作一個記號，刀子以此記號為起點，順時針慢慢轉動，則掃過的蛋糕會愈來愈大，此時三個人若覺得掃過的部分已經達到三分之一或是自認為滿意的大小，則任何人都可以隨時喊停，操刀的人聽到有人喊停，就要馬上切下去。若喊的人只有一個，則這塊蛋糕就給這個人；若喊的人不只一個，則以猜拳或其他方式決定給其中的一位。

剩下約三分之二的蛋糕給兩個人分，則再繼續剛剛的動作，當轉到其餘兩人中有人覺得已經滿意的大小，則可喊停，操刀的人就可以往下切，剩下的當然就給還沒分到的人。或是利用題目中，媽媽所提供「兩個人分一個蛋糕」的方式，即可分出兩個人都認為公平的蛋糕。這樣三個人就都可以拿到自認為滿意的蛋糕了。

在來考慮N個人的情況：

若人數為N個做法和三個人的方式類似，先選一個人操刀，切蛋糕方式和三個人分蛋糕一樣，若眾人覺得掃過的大小達到N 分之一，則可以隨時喊停，若只有一人喊，則該塊蛋糕屬於喊的那個人；若超過一個人喊，則以猜拳或其他方式決定分給誰。其餘（N-1）個 人繼續同樣的程序。這樣進行直到只剩下兩個人為止，再利用兩個人的分法，則可以將蛋糕公平的分給N個人。