上古漢語的邏輯結構 050

1.0 從函數到函算語法

1.1 句子成份

1.2 函數概念小史

1.3 弗雷格的函數概念

五

弗雷格要我們注意一個現象，假如我們稱「x」為一個「論元」(argument)，

1.3_7 2．1³＋2 ﹑

1.3_8 2．2³＋2 ﹑

1.3_9 2．3³＋2 ﹑

...

都可以被視為內藏同一個函數 (2．x³＋2)，雖然它們各自有不同的論元 (嚴格來說是論元值﹗)。

由此，我們可以辨別

1.3_10 2．x³＋2            

和字母

1.3_11 x

是兩個不同的東西。

事實上，上述函數可以寫作

1.3_12 2．(...)³＋2

亦無不可。這個寫法明確指出「x」是個佔位符。

弗雷格的眼光在於他看到論元不屬於函數。按上文/弗雷格的理解，一個演算表式可以劃分成兩個部份﹕論元的符號和函數的表式﹔但兩者不同，因為論元 (即論元符號的指謂)是個數字，而且本身便已經是完整的 (即在意義上明確﹑自足)，函數 (即函數表式的指謂) 不是。

從「2．(...)³＋2」表式的結構外觀便可以清楚見到函數是不完整的 (即在意義上不明確﹑不自足)。這突出了函數的一個主要特徵，就是不完整性。論元是完整的 (在所用的例子中)，而函數是不完整的。一旦將兩者的位置做如上的界定，再加上我們對函數的特殊行為 (「x」的函數的值來自賦予「x」的值) 的認識，不完整 (unvollständig) 或有待飽和 (ungesättigt) 的函數可以被飽和而變得完整 (vollständig)。弗雷格稱以某論元飽和某函數的結果為「該函數以此為論元的值」⁴⁷。

同樣，我們也可以把

1.3_13 Caesar eroberte Gallien

[英譯﹕Caesar conquered Gall 或漢譯﹕凱撒攻佔了高盧]

一句分解作兩個部份﹕「Caesar」(凱撒) 和「eroberte Gallien」(攻佔了高盧)，並且視「eroberte Gallien」為函數，「Caesar」為論元。[Frege 2008: 12]

如果我們採用這個觀點，我們可以說「Caesar eroberte Gallien」(凱撒攻佔了高盧攻佔了高盧) 是「eroberte Gallien」(攻佔了高盧) 函數以「Caesar」(凱撒) 為論元的值。

當然，對弗雷格來說，所謂的「值」(value) 是語句的真值，這是以建立他的新邏輯為目的的取向﹔但若以建立語構系統為目的，我們亦不妨視 1.3_13 的值為合式句子。

下章將詳細論述這個可能性。

__________

47 Der Wert der Funktion für dies Argument，英譯是「The value of the function for this argument」。

待續