舊業重溫2--分數運算問題-善用加法乘法的性質

課輔的國中一年級學生問了以下分數運算的問題：

我寫給他解法步驟，提點要訣，結果他說看不懂，讓我一時略感挫折。學生在數學科的成績低下，沒有思考的習慣，看到太長的說明，大概會心生畏懼。

畢竟是3C時代的學生，不久他就在網路找到第一題的解法。

他找到的是循規蹈矩的解法(解法1)：
先把帶分數化為假分數；
括號內先算，做分母通分，相減後得負12分之11；
再算前面兩項，也做分母通分，相加後得到12分之67；
最後再把算出來的兩部分合併，後項應變號成加法，答案得12分之78，
化為6又2分之1。

我給他的解法指導(解法2)比較聰明一點。因為我看到第一個與第三個分母相同，第二個與第四個分母也相同，可以善用加法的交換律與結合律(減法視為加負數)。
解法2：

先拆掉括號，注意後面負數碰到外面的負號要變 + 號。

根據加法交換律，中間兩項對調位置。

前兩項、後兩項各自合併，同分母不必先通分。

後一項是整數，直接以帶分數作答。

第二題

解法1：當然仍可以循規蹈矩，先乘除後加減。
先將帶分數化成假分數；
再把前面兩數和後面兩數捉對乘起來，分別得到負9分之539，以及9分之476；
再相加，分母還是9，分子是 -539+476，得 -63；
最後把9分之63約分，答案是 -7 。

解法2：前後相乘的數都有3分之7，我們要想到乘法對加法的分配律
 a x (b + c) = a x b + a x c，本題要自右式等向左式。

再來是括號內先算，我們發現，分數的部分都是3分之2，一正一負抵消了，變成 -25+22，好算！

接著發現後面的3可與分母約分消去，答案很容易得到 -7。

結語：循規蹈矩的算法是萬用的原則，但這兩題命題者顯然有引導學生善用運算性質的用心，因為在不使用計算器的情況下，不必像爬過高山一般，計算龐大的數字，減輕了負擔，縮短了計算時間，並降低犯錯的機會。

學生平時應多練習解題，並多思考、嘗試不同的方法，經驗豐富了，就容易迅速找出捷徑，窺知出題者的小心思。

當然，解法2之所以比較好算，乃因命題者設計了好數字，過程中數字可抵消化小；假使數字隨便亂改，解法2可未必都會更輕鬆。