Black-Litterman Model是什麼? 解決MVO對輸入的高敏問題同時引入主觀觀點

更新於 2025/01/12發佈於 2025/01/11閱讀時間約 10 分鐘

假設你是一位管理全球股票投資組合的投資經理人，基礎做法通常是：

使用歷史資料 來估計各個市場或產業的平均報酬與風險(標準差)。
將這些平均報酬視為「輸入參數」，然後套用馬可維茲均異化模型(Markowitz Mean-Variance Model or Mean-Variance Optimization)來決定最適投資組合。

但在現實中，歷史資料的估計不僅受到區間選擇的影響，更可能因為未來不一定重複過去的走勢，而導致投資組合對輸入參數的微小變動極度敏感：

只要稍微改變某個市場的報酬預測，投資組合的權重就可能劇烈搖擺。
加上你作為投資經理人，其實對未來趨勢（例如「美國科技股將比歐洲傳統產業成長更快」）有某些主觀判斷，但傳統模型難以「系統化」地把你的主觀觀點納入。

這時 Black-Litterman Model 就能派上用場。它先假設「若市場達到均衡，則各資產的權重應與其市場總市值的比例相符」，並推導出一組隱含的均衡報酬。接著，你可以把自己對「美國科技股」或「歐洲市場」等的看法，以「主觀觀點」的方式輸入模型，並對自己的觀點設定「信心程度」。Black-Litterman Model 會在考量整體市場均衡的基礎上，將你的觀點適度融入，最後輸出一個更穩定且能反映你看法的投資組合。

為什麼這很重要？

在真實世界中，僅憑歷史平均報酬去做投資決策常有偏誤。
你可以系統化地將「主觀看法」結合「市場均衡」，而非純粹依賴個人直覺。
相較於傳統方法，Black-Litterman Model 的投資組合結果更「穩定」，極端配置現象較少。

Black-Litterman Model 的精隨

市場均衡（Market Equilibrium）
- 該模型在起點認定，如果所有投資人都是理性的，且市場達到供需均衡，則各資產的最適權重等同於它們在市場中的市值比例。藉由反推出「隱含的均衡期望報酬」，給出一個不會過度依賴歷史資料或投資人情緒的「基準觀點」。
主觀觀點（Views）與可信度（Confidence）
- 投資人可以表達對某些資產或市場的看法，例如「A 產業的未來報酬率將高於均值 2%」，並給定一個「信心程度」。這些觀點與市場均衡相結合時，形成更客觀的投資組合調整依據。
貝葉斯更新（Bayesian Update）
- Black-Litterman Model 透過貝葉斯方法來融合「市場隱含的均衡報酬」和「投資人主觀看法」。信心程度越高，模型調整權重就越朝投資人觀點傾斜；信心程度越低，就越保留市場均衡的結果。最終得到的期望報酬矩陣與投資組合權重更具彈性與穩定性。
更穩定、直覺且可控的結果
- 避免了傳統均異化模型可能出現的「輸入輕微波動就導致權重大幅搖擺」的情況。
- 藉由控制「主觀觀點」的強弱，投資人不需要“無條件”相信模型或個人看法，而是能在兩者之間找到平衡。

模型建構

在傳統 Markowitz 的MVO架構下，我們希望找出能最大化投資組合效用（Utility）的權重向量 w。若有 N檔資產，其期望超額報酬（相較於無風險利率）向量為 μ，資產報酬的協方差矩陣為 Σ，投資人對風險的厭惡程度（Risk Aversion Coefficient）為 λ，則常見的投資組合效用函數可寫作：

對上式取一階導數並令其為零，可得：

此即傳統平均－變異模型下的最佳權重解。

隱含市場平衡報酬（Implied Equilibrium Return）

Black-Litterman 模型的第一步是透過「反向優化」（Reverse Optimization），將市場權重視為「平衡權重」w_m：假設市場目前的權重即為最適解。則從上式可得市場均衡之「隱含期望超額報酬」μ_eq為：

其中：

w_m 為 N×1 的市場權重向量（例如市值加權指數的權重）。
λ為風險厭惡係數，可由歷史市場風險溢酬（market risk premium）及波動度推得，通常介於 2～4 之間。(若以美股歷史平均超額報酬約 6%、波動度約 15% 為依據，則λ = 0.06/0.15^2≈2.7)

納入不確定性調整係數 τ

Black-Litterman 模型中，將市場隱含期望報酬 μ_eq視為「先驗分佈」（Prior），並假設 μ_eq與協方差矩陣 Σ 同為常態分佈。但因「期望報酬本身的變動」通常遠小於「單期報酬的變動」，我們常在 Σ 前乘上一個「風險調整倍數」τ，使得先驗對 μ_eq 的不確定度更小一些。常見的 τ 值介於 0.01～0.05 之間，或依據樣本期間 T 反推 τ≈1/T

若將歷史 T 期的平均報酬視為「期望報酬的估計」，其標準誤差約為樣本標準差的1/√T。因此在 Black-Litterman 架構下，可將 Σ 的量級縮小約一個 1/T的倍數，即 τ=1/T。

設定主觀觀點與其不確定度 Ω

Black-Litterman 模型的核心在於，投資人可對部分資產或組合提出「觀點」，並賦予「觀點不確定度」Ω（即該觀點的信賴區間）。假設總共有 K 條觀點，則可用下列線性方程式表示：

Q = P μ + ε

其中：

Q為 K×1的觀點向量，表示每條觀點對應的「預期報酬」。
P為 K×N的配置矩陣（每條觀點如何加總到各資產）。
μ為我們想要推估的資產期望超額報酬（也是 Black-Litterman 中的「未知量」）。
ε 表示觀點的誤差項，其協方差矩陣為 Ω（對觀點的置信程度越高，Ω越小）。

例如，假設有 5 檔股票：

股票 1、2：屬於「非必需消費品（consumer discretionary）」產業，其相對市值比重各 0.5 與 0.5。
股票 3、4、5：屬於「消費必需（consumer staples）」產業，市值比重依序為 0.5、0.3、0.2。

投資人根據研究得到 3 條觀點：

單一股票觀點：股票 3 的期望報酬為 10%，估計誤差波動度為 10%。
產業相對觀點：非必需消費品（加權 0.5/0.5）將比消費必需（加權 0.5/0.3/0.2）多賺 3%，估計誤差波動度為 4%。
長／短組合觀點：一個總權重加總為 0 的投資組合 [+0.4, −0.6, −0.4, +0.4, +0.2]，預期能賺 4%，估計誤差波動度為 3%。

此時可將 3 條觀點合併成(1 row 1 view)：

若假設三條觀點之間互不相關，則其不確定度矩陣 Ω 為(波動度的)對角矩陣：

Black-Litterman 後驗報酬

若忽略推導過程，最終得到的 Black-Litterman 後驗報酬向量通常被寫成：

若投資人對觀點極度有信心，Ω很小，則後驗報酬會較接近觀點 Q。反之，若對觀點信心不足，Ω 大，後驗報酬會偏向市場隱含的 μeq。

(我們也可推導出更新後的報酬協方差，只是因 τ 很小，且加入觀點後常能進一步降低不確定性，因此實務操作時，Σ本身常被視為已相當接近後驗協方差。若模型對觀點有較高信心，後驗報酬分配的變異自然會小於原先市場隱含分配。)

重新優化投資組合

得到後驗期望報酬 μ^之後，我們可再次進行MVO，找出新權重 w^：

Ω 的估計方法

在 Black-Litterman 中，Ω（觀點的不確定度）是最具彈性、也是最抽象的部分。投資人可依不同觀點決定 Ω 的數值大小及各觀點之間的相關性（Ω 的對角線外元素）。

質化法（Qualitative Approach）
例如 Thomas Idzorek（2005）提出一種「根據信心水準」的直覺性做法。投資人僅需對每條觀點給出「0～100%」的信心，例如信心 100% 表示該觀點幾乎是「必然正確」。此法藉由一次次迭代，找出能使優化組合「最接近」該信心水準的 Ω對角元素。若兩條觀點之間有相關性，也可進一步對 Ω 的非對角元素進行設定。
量化法（Quantitative Approach）
若觀點來自量化因子模型或回測結果，我們可直接以「歷史上該觀點（因子）對超額報酬預測的協方差」作為 Ω。但由於 Ω 代表的是「對期望報酬」的變異，而非「對單期報酬」的變異，實務上常需乘上一個小於 1 的縮放係數（類似 τ 的概念），以反映「期望值的波動度遠小於單期報酬」。