🧭 導讀：工程師看的是「系統」，不是單一公式
在真實工程中： ▪️ 沒有人只分析一顆電容 ▪️ 也不會只看一條微分式 工程師關心的是： ▶︎ 整個系統如何互動 ▶︎ 能量如何流動 ▶︎ 狀態如何演化 積分正是描述這些過程的核心工具。
🧩 一、積分在系統中的角色
在系統方塊圖中： ▪️ 微分 → 描述變化率 ▪️ 積分 → 描述狀態累積 因此： ▶︎ 積分器通常代表「狀態變數」🔄 二、狀態空間觀點
一般系統可寫成： dx(t)/dt = f(x(t), u(t))
經過積分：
x(t) = x(0) + ∫₀ᵗ f(x(τ), u(τ)) dτ
意義：
▪️ 系統現在狀態 x(t) ▪️ 來自過去輸入與動態的累積（0 → t）
⚙️ 三、積分與回授控制（PID）
在控制系統中： ▪️ P：看現在誤差 e(t) ▪️ I：累積過去誤差 ∫ e(t) dt ▪️ D：預測未來趨勢 de(t)/dt
積分項的功能：
▶︎ 消除穩態誤差（steady-state error）
🔋 四、積分與能量流
能量常用「功率對時間的累積」描述： E(t) = E(0) + ∫₀ᵗ P(τ) dτ
（輸入能量、儲存能量、消耗能量，都靠積分把「瞬間」變成「總量」）
🧪 五、系統層級的驗證工具
工程師常用： ▪️ 用積分檢查守恆（總量是否對得起來） ▪️ 用積分檢查穩定（能量是否被收斂） ▪️ 用積分檢查是否發散（總量是否無上限）
🧾 六、工程版一句話總結
積分是系統時間演化的語言。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔︎ 積分代表狀態 ✔︎ 狀態決定行為 ✔︎ 行為決定性能
✏️ 八、數學練習題：積分如何把「誤差」變成「消除穩態誤差」的力量？
某控制系統的誤差為：
e(t) = 2e⁻ᵗ （t ≥ 0）
定義積分器輸出（累積誤差狀態）為：
I(t) = ∫₀ᵗ e(τ) dτ
（1）求 I(t) 的閉式解（用 Unicode 表示）。
（2）求 I(∞) = limₜ→∞ I(t)。 （3）用一句工程語言解釋：為什麼「I 控制」能對付穩態誤差？
✅ 參考解答
（1）
I(t) = ∫₀ᵗ 2e⁻ᵗ dτ = 2∫₀ᵗ e⁻ᵗ dτ = 2[−e⁻ᵗ]₀ᵗ = 2(1 − e⁻ᵗ)
（2）
I(∞) = limₜ→∞ 2(1 − e⁻ᵗ) = 2
（3）工程語言：
因為只要誤差長期存在（哪怕很小），∫ e(t) dt 仍會持續累積，控制器就會不斷加大修正量，直到誤差被逼近 0，因此能消除穩態誤差。
