質疑或確信，Bayes factor
閱讀時間約 2 分鐘
前言
接續先前本專題文章《經驗與預測，Bayesian Inference》，本貓貓見到一部不錯的影片來介紹 Bayes factor:
影片藉由引入發生比 (Odds) 的概念，替換概似性 (Likelihood function)，使得 Bayesian inference 更為簡單乾淨地區分事前機率 P(H) 以及證據 E。其中比較的部分請見 18:30 左右。
對此，貓貓希望簡單地整理一下，補足兩種表示間的推論過程。
Bayes factor
以發生率表示 Bayesian inference
情境討論
考慮 Bayes factor K 的三種可能，看出 Bayes factor K 是比較假說 H 成立與否，對於證據 E 的預測能力的一種指標。當假說 H 成立時，證據 E 發生的可能相較於當假說 H 不成立時，證據 E 發生的可能，若是
- 較小，則偏好假說 H 不成立。極端情況下，若假說成立則不應觀測到證據 E。
- 相等，則不管假說 H 成立與否。
- 較大，則偏好假說 H 成立。極端情況下，若假說不成立則不應觀測到證據 E。
簡單來說，當 O(H) 固定而 K 越大，則 O(H|E) 越大。
在給定的證據 E 面前，更加支持原先設定的假說 H。
在給定的證據 E 面前，更加支持原先設定的假說 H。
以概似性重新檢視
為了方便理解，在先前藉由發生率引出 Bayes factor 後，現在重新寫回概似性的表示。在概似性的寫法下，可以藉由調整 K，觀察概似性 P(H|E) 對 K 的函數關係。
討論
在上述推論中，基於 Bayesian inference 並藉由引入 Bayes factor 的概念來觀察此概念的意義。觀察方式藉由發生率及概似性作出結論:
Bayes factor K 的數值由小到大，代表對於假說從否認到確信。
當一份假說模稜兩可，K=1 時，並無法藉由證據 E 證明或證偽。
以熱門影片《阿翰 po 影片 │算命阿姨 九天玄女之天女散花》來作範例，令觀測證據 E 為爆米花爆開，而假說 H 為九天玄女降落，假說不成立的 not H 則為九天玄女沒有降落。
此時，無論九天玄女有沒有降落，只要瓦斯開著，爆米花就會爆開。此情境 Bayes factor K=1，而無法證明或證偽九天玄女是否降落，徒留可疑感。
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此時，無論九天玄女有沒有降落，只要瓦斯開著，爆米花就會爆開。此情境 Bayes factor K=1，而無法證明或證偽九天玄女是否降落，徒留可疑感。
對於 K=1 的情境，貓貓希望大家能區分笑話跟現實，保有懷疑精神。
參考資料
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