綁架愛麗絲 之 地下邏輯 011

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

九

我們引入一個符號 ——

——¹⁰ 並採用這樣的一個記法 (notation):

，用來代表「如果 p，那麼 q」。此後﹐我們不再寫「如果 p，那麼 q」。凡條件句式﹐都記為

以下的論理是個正確的推論:

論理型 1 號﹕有效

。¹¹ 這個推論應用了一個推論規則 (rule of inference)﹐稱為「條件消去」(conditional elimination)。傳統上﹐使用條件消去規則的論理型稱為「肯定模式」。¹²「肯定模式」說:

• 如果有 p → q﹐
• 並且有 p﹐
• 我們可以論斷 (conclude) q。

這個理解沒有困難，因為我們假設了「p」是獲得「q」的條件，既然條件已滿足，結論是明顯的。

下一個論理看來「合理」﹐甚至看來有點像肯定模式﹐但實在無效 (invalid)。

論理型 2 號﹕無效

「﹁ p」念做「非 p」﹐是 p 的否定﹐即 p 為假; 同理﹐「﹁ q」是 q 的否定﹐即 q 為假。這就是愛麗絲的論理﹐邏輯家稱它為「否定 (如言) 前件的謬誤」。

• 為什麼否定前件 (並以此否定後件) 的論理型是個謬誤?
• 為了回答這個問題，我們需要借用真值表。

讓我們復述條件句的邏輯含義。漢語中的「如果 p，那麼 q」扮演聯結兩個句子的角色。翻譯到命題邏輯的語言﹐我們用「→」來表示﹐並將「→」表達的關係稱為「條件句」。日用語用「如果 p，那麼 q」(通常會省略掉「那麼」) 來表示一個條件關係﹐命題邏輯用「→」來表示一個條件句關係。兩者用法不同﹐「→」並不包含「如果 p，那麼 q」的所有用法或意義。換句話說﹐「→」抽取了「如果 p，那麼 q」的一些基本要素﹐並且根據這些基本要素﹐規限了「→」在命題邏輯中的用法。

「如果 p，那麼 q」在日用語言中有很多用法﹐因此有多個意義﹐但其中有幾個意義﹐不論任何用法﹐都必須遵守。邏輯學家將這幾個意義抽取出來﹐並作出規範﹐確立這幾個意義為「→」的邏輯用法。並且稱「→」表達了一個條件句關係﹐而「p → q」則稱為「條件句」﹐以別於日用語言中的條件句用法。

「→」是個邏輯運算符號。

• 問: 它是用來運算什麼的?
• 答: 它是用來運算真假值的。

命題邏輯有好幾個這樣的邏輯運算符號﹐叫做「語句聯結詞」(sentential connectives)﹐都是真值函應的 (truth-functional)﹐故又稱「真值函應聯結詞」(truth-functional connectives)。命題邏輯屬於布爾型邏輯 (Boolean logic)﹐即二值邏輯 (two-valued logic)。命題邏輯的真值函應聯結詞之所以是真值函應是因為它們具有涵數特性﹕一個由語句聯結詞構成的複合句 (compound sentence) 的真假值 (truth value) 僅需由其成份句 (constituent sentences) 或子句的真假值決定。基本概念來自數學的函數概念。

數學上﹐函數 (function) 的意思﹐用一句話解釋﹐就是一個量 (函數的輸入項或論元¹³) 可以完全決定另一個而且是唯一的一個量 (函數的輸出項或值¹⁴); 用接近計算機科學的語言來說﹐輸入的量能夠完全決定輸出的量。就數學而言﹐量的單位一般是數﹐就命題邏輯而言﹐量的單位是真假值: 真﹑假。

用否定句式做例子﹐「﹁p」中的「﹁」是一個命題聯結詞﹐它聯結一個句子 (命題)「p」﹐「p」是「﹁p」的唯一成份句 (子句)。「p」有兩個真假值 —— 要麼是真﹐要麼是假。¹⁵ 如果「p」為真﹐「﹁p」便為假; 如果「p」為假﹐「﹁p」便為真。所以﹐「﹁」是個真值涵應聯結詞﹐只要輸入「p」的真值﹐便能立刻得出「﹁p」的真值: 根據的是我們賦予「﹁」的函數定義。

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¹⁰ 這個符號稱為「鐵蹄」(horseshoe)。最早使用的是法國數學家佐瑟夫戴亞斯舍恭(Joseph-Diaz Gergonne)﹐時為西元1816年。

¹¹ 本書的《方格子》版本﹕由於未能輸入馬蹄符號，因此讀者可以見到前面被逼插入 JPG 圖形。為了方便，下文一律改用箭頭符號 - 「→」。這兩個符號在邏輯學界都可以用來表示條件句式關係，均屬正當記法﹔但一般來說，在討論經典邏輯時，基於歷史因素，我個人多使用馬蹄符號，而在討論非經典邏輯系統時則用箭頭符號。

¹² Modus ponendo ponens (拉丁語)﹐通常簡寫為「modus ponens」。始於英國邏輯學家威廉舍伍德 (William of Sherwood: 1190-1247)﹐「modus」一詞在拉丁經院邏輯 (Latin scholastic logic) 中有很多專門意義。「modus」乃「標準」﹑「權衡」的意思﹐語根來自印歐語系的「med」﹐「採取適當措施」之意。「ponendo」是「ponere」的動名詞﹐「ponens」是「ponere」的現在分詞; 有「放下」﹑「肯定」﹑「斷定」﹑「建立」等意思。在本書脈絡之中﹐「modus」指 「mode of argument」(論理的模式)。因此﹐「modus ponendo ponens」是「隨肯定而來的肯定模式」的意思﹐而「modus ponens」可以譯做「肯定模式」。對考古有興趣的讀者可參考:

Josef Maria Bochenki: A History of Formal Logic, English translation by Ivo Thomas, University of Notre Dame Press, Indiana, 1961;

William of Sherwood: Treatise on Syncategorematic Words, English translation by Norman Kretzmann, University of Minnesota Press, Minneapolis, 1968。

¹³ Argument(s) of a function。這個脈絡中的「argument」是一個術語，不能與非術語用法 —— argument / 論理 —— 混為一談。首先賦予「argument」本文意義下的數學用法的很可能是法國數學家奧古斯丁‧路易‧柯西 (Augustin Louis Cauchy: 1789-1857)。我做了一點考古的工作﹐能找到的﹐在本文意義下與函數相關的用法最早出現在以人口統計成名的英國數學家本傑明‧高伯茲 (Benjamin Gompertz) 刊登於 Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1825) 上的一篇關於人口死亡率的研究文章: On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies。文中有這樣的一個句子: 「These tables represent the logarithm of the present values of annuities for every value of a certain argument」。 這篇文章應與保險業計算壽險有關。本人純屬外行，故不便翻譯，以免出錯。

¹⁴ Value of the function。比較準確的說法應該如下: 如果 f(x) 是個函數﹐x 便是該函數的論元; 如 y 是該函數的值﹐即 f(x) = y﹐那麼﹐我們說: 就論元 x 而言﹐y 是 f(x) 的值 (y is the value of the function f(x) for the argument x)。

¹⁵ 一個命題 (陳述句) 僅有兩個值﹐非真即假﹑非假即真﹐不容許非真非假﹑亦真亦假的可能性。這是經典邏輯最基本和最重要的一個假設。

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