綁架愛麗絲 之 地下邏輯 012

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十

以下的表式稱為「真值表」(truth-table):

真值表[1]: 否定 (negation)

我們用「1」代表真﹐「0」代表假。¹⁶

「p」是語句變元 (或命題變元)﹐讀者應該記得﹐「﹁」則是個函子 (functor); 即這個符號是一個函子，它用來表達一個函數 (function)。如果「f(x)」是個否定函數，而「x」是個命題變元﹐「﹁」就等於「f」。

真值表中的十字形線不是邏輯符號﹐純粹是表述工具: 我們稱橫的一條線為「橫軸」﹐縱的一條線為「縱軸」。

基本上﹐縱軸劃分左邊的輸入項目和右邊的輸出項目; 橫軸劃分上方的論元及命題函數 (propositional function) 和下方的真值。由於「﹁」是個一元函子﹐命題函數「﹁p」便只有一個論元﹐即: 「p」。

現在讓我們從上至下﹑從左至右﹐解釋每一橫行的安排。

• 在縱軸之左及橫軸之上輸入一個論元「p」。
• 將「﹁」應用在「p」上，因此在縱軸之右及橫軸之上輸出一個命題函數「﹁p」。
• 在縱軸之左及橫軸之下﹐輸入論元「p」的所有的可能真值。
• 因為命題邏輯中的命題 (或陳述句) 有一個特性 (其實是個假設)﹐就是非真即假﹐所以橫軸之下只設兩個橫行﹐先寫「1」﹐再寫「0」。
• 在縱軸之右及橫軸之下輸出命題函數「﹁p」的真值: 如果「p」得「1」(若「p」為真)﹐「﹁p」得「0」(「﹁p」為假)﹔如果「p」得「0」﹐「﹁p」得「1」。

這就是命題邏輯給否定號「﹁」(非) 下的定義。

此時有需要解釋一下何謂「命題函數」。

前面說過﹐「﹁p」是命題函數的一個例子﹐意思是說「﹁p」還沒有確定的真值﹐但我們知道如何判定 (decide)「﹁p」的真值﹐「﹁p」的真值是由其論元「p」的真值所決定的﹐恰恰符合了「函數」的定義。

為什麼「﹁p」沒有確定的真值?

因為「﹁p」中的「p」僅僅是一個命題變元﹐不是一個命題。它可以用來代表任何一個或真或假的陳述句 (某特定命題)。

哪一個陳述句?

沒有人知道﹐除非我們將一個陳述句代入命題變元的位置﹐否則我們只知道「﹁p」或真或假。

譬如我們有一個陳述句「陳美麗是一個工作狂」。

將「陳美麗是一個工作狂」代入「p」的位置而得「﹁p」﹐可念作「非 (陳美麗是個工作狂)¹⁷」; 日常語言的版本為「陳美麗不是一個工作狂」。

我們也可以用英文大寫「C」來代表「陳美麗是一個工作狂」: 那麼，如果現實生活中的陳美麗是個工作狂﹐「﹁C」便是個假句或假命題; 如果現實生活中的陳美麗不是一個工作狂﹐「﹁C」便是個真句或真命題。

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¹⁶ 坊間教科書也有用「T」(「Truth」的首個字母) 代表真﹐「F」(「False」的首個字母) 代表假。

¹⁷ 圓括號不是邏輯符號﹐只作標點符號用。

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