前導
在本章節，較會著重在定義與性質，練習題的部分會放在之後的章節。
不定積分
不定積分也就是反導函數，表示為:
不定積分的公式與性質
定積分的定義
設函數 f(x) 在區間 [a, b] 上連續，將此區間分割成 n 個小區間：
令每個小區間
的長度為
並在每個小區間內任取一點
則曲線下的面積可近似為：
若近似值趨近真實面積，此極限定義為定積分：
我們以一個例子來看
好，你可能還不是很懂，我們再舉一個例子，並搭配圖例:
我們想要求 f(x) = x^2 在 [0, 1] 區間中的面積，如下圖:
我們將 [0, 1] 區間平分成 4 等分，每段寬度為1/4，利用長條矩形的面積總和來估算面積:
- 左和(或者稱上和，即上矩形的面積總和)
面積計算過程如下:
- 右和(或者稱下和，即下矩形的面積總和)
面積計算過程如下:
好，而真正的面積其實就介於這兩數值之間，所以，如果今天將 [0, 1] 平分成 n 等分，並使
這樣左合和右合實際上會趨近於一個數(良好的精確值)。而最後我們會將此行為稱作定積分:
定積分與面積的關係
(1)一個連續且有定義的多項式函數 f(x) 在區間 [a, b] 與 x 軸圍的區域面積為 R，則:
- 當 f(x)≥0:
如圖:
此時函數圖形在 x 軸上方，所以定積分就等於面積。
- 當 f(x)≤0:
如圖:
此時函數圖形在 x 軸下方，定積分值為負，而「面積」是正值，所以需取相反數。
- 當 f(x) 在區間內有正有負:
如圖:
此時定積分等於 R1 - R2 + R3。
也就是說:
定積分的性質
這些都是重要的性質也是解題的基石。
微積分基本定理
定積分的平均值定理
- 定積分的平均值定理保證：
在區間內，總有一點的函數值 = 整體的平均高度 - 幾何意義是：曲線下的面積 = 高 f(c) × 底長 (b−a)。
微積分第一基本定理
這個定理的核心是: 定積分與微分互為反操作，把一個函數 f(t) 積分起來形成 F(x)，再對 F(x) 微分，就會回到原來的 f(x)。
幾何圖像理解:
微積分第二基本定理
很簡單，就是:
兩定理的舉例:
以上就是有關不定積分與定積分的觀念講解，希望對讀者有幫助。
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最後感謝您的觀看!
