大學微積分題解-積分的概念與反導函數

前導

在本章節，較會著重在定義與性質，練習題的部分會放在之後的章節。

不定積分

不定積分的公式與性質

定積分的定義

設函數 f(x) 在區間 [a, b] 上連續，將此區間分割成 n 個小區間：

令每個小區間

的長度為

並在每個小區間內任取一點

則曲線下的面積可近似為：

若近似值趨近真實面積，此極限定義為定積分：

我們以一個例子來看

好，你可能還不是很懂，我們再舉一個例子，並搭配圖例:

我們想要求 f(x) = x^2 在 [0, 1] 區間中的面積，如下圖:

我們將 [0, 1] 區間平分成 4 等分，每段寬度為1/4，利用長條矩形的面積總和來估算面積:

• 左和(或者稱上和，即上矩形的面積總和)

面積計算過程如下:

• 右和(或者稱下和，即下矩形的面積總和)

面積計算過程如下:

好，而真正的面積其實就介於這兩數值之間，所以，如果今天將 [0, 1] 平分成 n 等分，並使

這樣左合和右合實際上會趨近於一個數(良好的精確值)。而最後我們會將此行為稱作定積分:

定積分與面積的關係

(1)一個連續且有定義的多項式函數 f(x) 在區間 [a, b] 與 x 軸圍的區域面積為 R，則:

1. 當 f(x)≥0:

如圖:

此時函數圖形在 x 軸上方，所以定積分就等於面積。

2. 當 f(x)≤0:

如圖:

此時函數圖形在 x 軸下方，定積分值為負，而「面積」是正值，所以需取相反數。

3. 當 f(x) 在區間內有正有負:

如圖:

此時定積分等於 R1 - R2 + R3。

也就是說:

定積分的性質

這些都是重要的性質也是解題的基石。

微積分基本定理

定積分的平均值定理

• 定積分的平均值定理保證：
  在區間內，總有一點的函數值 = 整體的平均高度
• 幾何意義是：曲線下的面積 = 高 f(c) × 底長 (b−a)。

微積分第一基本定理

這個定理的核心是: 定積分與微分互為反操作，把一個函數 f(t) 積分起來形成 F(x)，再對 F(x) 微分，就會回到原來的 f(x)。

幾何圖像理解:

微積分第二基本定理

很簡單，就是:

兩定理的舉例:

以上就是有關不定積分與定積分的觀念講解，希望對讀者有幫助。

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