導數 f’ 對 f 的影響？
反映函數 f(x) 的斜率與變化趨勢，若函數 f(x) 在定義域內某區間 (a, b) 滿足:
極大值、極小值
- 局部極大值：若在某區間內，f(c) 大於附近所有 f(x)，則稱 f(x) 在 x = c 有局部極大值。
- 局部極小值：若在某區間內，f(c) 小於附近所有 f(x)，則稱 f(x) 在 x = c 有局部極小值。
- 絕對極值：在定義域內，f(x) 的最大與最小值。
二次導數 f'' 對函數 f 的影響?
反映函數的凹向性，一個函數圖形彎曲方向，通常可分為凹向上或凹向下兩種。若函數圖形 f(x) 在區間內可微分，過某點做一條切線，並且其二階導數 f''(x) 存在，則。
反曲點
反曲點的定義是一條連續曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，也可以說在那一點左右兩側的凹向性會不同。
函數極值的求法
- 求導函數 f'(x)
- 找出 臨界點（f'(x) = 0 或不存在的點）
- 使用一階或二階導數法測試：
- 一階導數法測試：根據f'(x) 兩側符號變化決定是否為臨界點
- 二階導數法測試：若 f''(c) > 0 則是極小值；f''(c) < 0 則是極大值
- 若為封閉區間，需同時考慮端點，與臨界點一起比較 f(x) 值，找出絕對極值。
- 最後要注意，f'(a) = 0 代表 f(x) 在 x=a 處有水平切線，並不一定代表 x=a 處一定有極值，須利用左右兩側的增減情形判別。
練習題
Step 1：一階導數
Step 2：找出臨界點(令 f′(x)=0)
所以 x=0 是臨界點
Step 3：根據f'(x) 兩側符號變化判別
這邊比較特別，二階導數有一些Case存在，若
這種情況下，二階導數法將失敗，無法判斷出來是極值。
其中
這種情況下我們可以說導數有「重根」。
好，所以本題我們必須使用一階導數法
導數在 x=0 左右兩側都為正 → 沒有變號
Step 4：最終結論:
反曲點的求法
若要求反區點，其概念跟上面很相似，若該曲線圖形的函數在某點的二階導數為零或不存在，且二階導數在該點兩側符號相反，該點即為函數的反曲點，要注意，有些函數圖形在 f''(a) = 0 並不一定代表點 f(a, f(a)) 一定是反曲，須利用左右兩側圖形的凹向性來判別。
練習題
Step 1：求導數
Step 2：求二階導數
Step 3：解二階導數為 0
Step 4：測試兩側凹向性
所以：y'' 在 x=1 處由正變負，確實是反曲點。
Step 5：求對應的 y 值
故最終答案:
函數圖形的描繪
好，最後我們其實可以利用上面的知識，將給定的 f(x) 畫出相應的函數圖形，以下示範:
例如，求:
Step 1：求一階導數
Step 2：求二階導數
Step 3：列表觀察符號變化
Step 4：根據表繪製函數圖形
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