大學數位邏輯講義課程系列-二進位數值運算

前導

數位電路做四則運算(加、減；乘、除)大都只用加法一種運算來完成，以達成減化電路的目的，減法乃利用+補數來完成，乘法用連加或向左移來完成，除法則利用連減或向右移來完成。

二進位減法

1的補數減法

1的補數減法，其步驟如下:

1. 取減數 (B) 的 1 的補數：將 B 的每一位反轉 (0 變 1，1 變 0)。
2. 將被減數 (A) 和 1 的補數 B 相加。
3. 若有進位 (Carry-out)，則加回最低位 (End-around carry)，稱為端迴進位，其結果以1的補數表示法呈現

範例2: 以1的補數法計算0011₍₂₎-0110₍₂₎。

2的補數減法

2的補數減法，其步驟如下:

1. 取減數 (B) 的 2 的補數：

• • 先取 1 的補數 (反轉所有位元)。
  • 再加 1。

2. 將被減數 (A) 和 2 的補數 B 相加。
3. 如果最高位產生進位 (Carry-out)，則忽略進位，其結果以2的補數表示法呈現，若結果為負數，再取 2 的補數得到正確結果。

範例: 以2的補數法計算1010₍₂₎-0110₍₂₎。

範例2: 以2的補數法計算1110₍₂₎-0011₍₂₎。

加法、乘法與除法

與十進位的觀念大同小異，如下示範:

溢位

當計算機執行算術運算時，若所得的結果超過其位元數所能表示的範圍，則稱為溢位，導致運算結果不正確。

溢位通常發生在有號數的運算中，因為有號數使用 2 的補數來表示。

今天使用 4 位元 (整數範圍 -8 ~ +7) 進行計算，其溢位發生的情況:

1. 兩個正數相加發生溢位

• 另一種判斷方式(6 和 5 都是正數，但相加結果是負數，發生溢位。)

2. 兩個負數相加發生溢位

• 另一種判斷方式(-5 和 -4 都是負數，但結果是正數，發生溢位。)

溢位判斷的方法，也可藉由溢位旗標(overflow flag;簡稱OF)來檢查運算結果是否溢位。

請觀察下圖:

溢位旗標:

其中:

• C_n表示最高有效位元(MSB)的進位，即C₃。
• C_n-1表示次高有效位元(MSB的右邊位元)的進位，即C₂。
• 若OF=0，表示運算結果無溢位; 若OF=1，表示運算結果發生溢位，其答案是不正確的。

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