先假設運算放大器理想、且有負回授 ⇒ V⁻ = V⁺、輸入端電流≈0。
1) 先算 V⁺V⁺ 節點：兩個 2 V 各經 25 Ω 接到節點，等效為
兩個 25 Ω 並聯 ⇒ 12.5 Ω
Thevenin 等效：2 V 串 12.5 Ω 再接到節點
節點再經 50 Ω 到地
所以分壓：
V⁺ = 2 × 50 / (12.5 + 50) = 2 × 50 / 62.5 = 1.6 V
因此 V⁻ = 1.6 V。
2) 在 V⁻ 節點寫 KCL
V⁻ 節點：兩個 1 V 各經 100 Ω 接入，並經 200 Ω 回授到輸出 Vo：
(V^--1)/100+(V^--1)/100+(V^--V_o)/200=0
代入 V⁻ = 1.6：
0.6/100+0.6/100+(1.6-V_o)/200=0
0.012+(1.6-V_o)/200=0⇒1.6-V_o=-2.4⇒V_o=4.0
假設兩顆運放皆為理想運放且皆有負回授 ⇒
輸入電流 = 0
兩端電壓相等：V⁻₁ = V⁺₁ = V₁、V⁻₂ = V⁺₂ = V₂
把節點標成：
左邊反相端節點 = A，所以 V_A = V₁
右邊反相端節點 = C，所以 V_C = V₂
中間運放1輸出節點 = B（未知）
輸出 = V₀
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1) 在節點 A（電壓 V₁）寫 KCL
A 連到：地（R₂）、B（R₁）、C（R）
(V_1-0)/R_2 +(V_1-V_B)/R_1 +(V_1-V_2)/R=0
解出 V_B：
V_B=V_1+R_1 ( V_1/R_2 +(V_1-V_2)/R)
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2) 在節點 C（電壓 V₂）寫 KCL
C 連到：V₀（R₂）、B（R₁）、A（R）
(V_2-V_0)/R_2 +(V_2-V_B)/R_1 +(V_2-V_1)/R=0
整理：
V_0=V_2+R_2 ( (V_2-V_B)/R_1 ⓜ+(V_2-V_1)/R)
把上面 V_B代回並化簡，得到漂亮的結果：
▭(" " V_0=(V_2-V_1)(1+R_2/R_1 +(2R_2)/R)" " )
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✅ 答案：(V_0=(V_2-V_1)(1+R_2/R_1 +(2R_2)/R) )
1) 先算 V⁺（由 V₂ 分壓）
V₂ 經 R3 接到 + 端節點，該節點再經 R4 到地，所以
V⁺ = V₂ · R4/(R3+R4)
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2) 用反相端 KCL 求 Vo
在反相端（電壓 V⁻）節點，兩條電阻連到：V₁（R1）與 Vo（R2）
(V^--V_1)/R_1 +(V^--V_o)/R_2 =0
解 Vo：
V_o=V^-+R_2/R_1 (V^--V_1)
又因為 V⁻ = V⁺，代入 V⁺：
▭(V_o=(1+R_2/R_1 ) R_4/(R_3+R_4 ) V_2-R_2/R_1 V_1 )
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✅ 答案：
(V_o=(1+R_2/R_1 ) R_4/(R_3+R_4 ) V_2-R_2/R_1 V_1 )
假設三顆 OP 都是理想且皆有負回授 ⇒
輸入電流≈0，且 V⁻=V⁺。
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1) 先求左邊兩顆 OP 的輸出 V_o1,V_o2
設上方反相端節點電壓 = V_1，下方反相端節點電壓 = V_2（理想 OP 會逼到相等）。
上方 OP(1) 的反相端 KCL
(V_1-V_o1)/R_1 +(V_1-V_2)/R_V =0⇒V_o1=V_1+R_1/R_V (V_1-V_2)
下方 OP(2) 的反相端 KCL
(V_2-V_o2)/R_2 +(V_2-V_1)/R_V =0⇒V_o2=V_2+R_2/R_V (V_2-V_1)
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2) 右邊 OP(3)（關鍵簡化）
它是差動形式，會得到：
V_o=R_4/R_3 (V_o2-V_o1)
把上面 V_o2-V_o1代入並化簡：
令 Δ=V_2-V_1，則
V_o2-V_o1=Δ(1+(R_1+R_2)/R_V )
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✅ 最終答案
(V_o=R_4/R_3 (1+(R_1+R_2)/R_V )(V_2-V_1))
（注意：這題最後只跟 R_4/R_3、(R_1+R_2)/R_V 與差動輸入 V_2-V_1有關。）
理想 OP＋負回授仍成立：
V⁺ = Vi = 1 V ⇒ V⁻ = 1 V
輸入電流近似 0 ⇒ I1 = 0
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1) I2（左邊 1 kΩ 到地）
I_2=(1-0)/(1" " kΩ)=1/1000 A=0.001A=▭(1" " mA)
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2) 先求 Vo（非反相增益）
此電路是非反相放大器：
V_o=V_i (1+R_f/R_g )=1(1+9k/1k)=▭(10" " V)
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3) I3（回授 9 kΩ）
I_3=(V_o-V^-)/(9" " kΩ)=(10-1)/9000 A=9/9000 A=0.001A=▭(1" " mA)
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4) IL（負載 1 kΩ）
I_L=V_o/(1" " kΩ)=10/1000 A=0.01A=(10" " mA)
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5) Io（OP 輸出端供應的總電流）
輸出端要同時供應負載與回授：
I_o=I_L+I_3=10" " mA+1" " mA=(11" " mA)
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✅ 最終答案（全用 mA / V）：
I1 = 0 mA
I2 = 1 mA
I3 = 1 mA
IL = 10 mA
Io = 11 mA
Vo = 10 V
1. 定義
Vᵢ = v₁ − v₂
v₋ = v₊ = vₓ
上方節點：V_A
下方節點：V_B
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2. 分析 OPA 輸入端（求 V_A − V_B）
在 v₋ 節點：
(vₓ − v₁)/R₁ + (vₓ − V_A)/R₂ = 0
⇒ (V_A − vₓ)/R₂ = (vₓ − v₁)/R₁
⇒ V_A = vₓ − (R₂/R₁)(v₁ − vₓ)
在 v₊ 節點：
(vₓ − v₂)/R₁ + (vₓ − V_B)/R₂ = 0
⇒ (V_B − vₓ)/R₂ = (vₓ − v₂)/R₁
⇒ V_B = vₓ − (R₂/R₁)(v₂ − vₓ)
相減消去 vₓ：
V_A − V_B
= [vₓ − (R₂/R₁)(v₁ − vₓ)] − [vₓ − (R₂/R₁)(v₂ − vₓ)]
= −(R₂/R₁)v₁ + (R₂/R₁)v₂
= (R₂/R₁)(v₂ − v₁)
又因 Vᵢ = v₁ − v₂：
V_A − V_B = −(R₂/R₁)Vᵢ ……(1)
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3. 分析節點 V_A 與 V_B（求 Vₒ）
在節點 V_A：
(V_A − vₓ)/R₂ + (V_A − V_B)/Rᵥ + (V_A − Vₒ)/R₂ = 0
在節點 V_B（右側 R₂ 接地）：
(V_B − vₓ)/R₂ + (V_B − V_A)/Rᵥ + (V_B − 0)/R₂ = 0
用「(V_A 方程式) − (V_B 方程式)」：
[(V_A − vₓ)/R₂ − (V_B − vₓ)/R₂]
• [(V_A − V_B)/Rᵥ − (V_B − V_A)/Rᵥ]
• [(V_A − Vₒ)/R₂ − V_B/R₂] = 0
整理：
(V_A − V_B)/R₂ + 2(V_A − V_B)/Rᵥ + (V_A − V_B − Vₒ)/R₂ = 0
⇒ 2(V_A − V_B)/R₂ + 2(V_A − V_B)/Rᵥ − Vₒ/R₂ = 0
移項並提公因式：
2(V_A − V_B)(1/R₂ + 1/Rᵥ) = Vₒ/R₂
兩邊同乘 R₂：
Vₒ = 2(V_A − V_B)(1 + R₂/Rᵥ) ……(2)
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4. 代入 (1) 得最終增益
由 (1) 代入 (2)：
Vₒ = 2[−(R₂/R₁)Vᵢ](1 + R₂/Rᵥ)
⇒ Vₒ = −(2R₂/R₁)(1 + R₂/Rᵥ)Vᵢ
因此電壓增益：
Vₒ/Vᵢ = −(2R₂/R₁)(1 + R₂/Rᵥ)
這是一道典型的運算放大器（Op-Amp）電路分析題。這個電路是改良版的差動放大器（Difference Amplifier）。我們可以透過**節點電壓法（Nodal Analysis）與理想放大器的虛短路（Virtual Short）**特性來逐步推導出電壓增益 Vₒ / Vᵢ。
1. 定義節點與變數
為了方便計算，我們先定義電路中的各個節點電壓：
• 假設輸入端上方的電壓為 v₁，下方的電壓為 v₂。根據圖示，輸入電壓定義為 Vᵢ = v₁ - v₂。
• 設 OPA 的反相輸入端（-）與非反相輸入端（+）的電壓分別為 v₋ 與 v₊。根據理想 OPA 的虛短路特性，v₋ = v₊ = vₓ。
• 設電路圖上方，兩個 R₂ 與 Rᵥ 交界的節點電壓為 V_A。
• 設電路圖下方，兩個 R₂ 與 Rᵥ 交界的節點電壓為 V_B。
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2. 分析 OPA 輸入端節點（求 V_A - V_B）
根據理想 OPA 特性，輸入端沒有電流流入（虛斷路）。我們對 v₋ 與 v₊ 兩個節點列柯希荷夫電流定律（KCL）方程式（假設電流皆流出節點）：
• 在 v₋ 節點： (vₓ - v₁) / R₁ + (vₓ - V_A) / R₂ = 0
移項整理可得 V_A： (V_A - vₓ) / R₂ = (vₓ - v₁) / R₁ ⇒ V_A = vₓ - (R₂ / R₁)(v₁ - vₓ)
• 在 v₊ 節點： (vₓ - v₂) / R₁ + (vₓ - V_B) / R₂ = 0
移項整理可得 V_B： (V_B - vₓ) / R₂ = (vₓ - v₂) / R₁ ⇒ V_B = vₓ - (R₂ / R₁)(v₂ - vₓ)
將 V_A 與 V_B 兩式相減，可以消去未知的 vₓ： V_A - V_B = [ vₓ - (R₂ / R₁)(v₁ - vₓ) ] - [ vₓ - (R₂ / R₁)(v₂ - vₓ) ] V_A - V_B = -(R₂ / R₁)v₁ + (R₂ / R₁)v₂ = (R₂ / R₁)(v₂ - v₁)
因為已知 Vᵢ = v₁ - v₂，我們可以代入上式得到： V_A - V_B = -(R₂ / R₁)Vᵢ …… (公式一)
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3. 分析節點 V_A 與 V_B（求 Vₒ）
接著，我們對節點 V_A 與 V_B 再次列 KCL 方程式：
• 在節點 V_A： (V_A - vₓ) / R₂ + (V_A - V_B) / Rᵥ + (V_A - Vₒ) / R₂ = 0
• 在節點 V_B：（注意右側 R₂ 是接地，電壓為 0） (V_B - vₓ) / R₂ + (V_B - V_A) / Rᵥ + (V_B - 0) / R₂ = 0
為了快速求解並消去 vₓ，我們將 V_A 節點的方程式 減去 V_B 節點的方程式： [ (V_A - vₓ) / R₂ - (V_B - vₓ) / R₂ ] + [ (V_A - V_B) / Rᵥ - (V_B - V_A) / Rᵥ ] + [ (V_A - Vₒ) / R₂ - V_B / R₂ ] = 0
整理各項： (V_A - V_B) / R₂ + 2(V_A - V_B) / Rᵥ + (V_A - V_B - Vₒ) / R₂ = 0 2(V_A - V_B) / R₂ + 2(V_A - V_B) / Rᵥ - Vₒ / R₂ = 0
將 Vₒ / R₂ 移到等號右邊，並將左邊提出公因式 2(V_A - V_B)： 2(V_A - V_B) * (1 / R₂ + 1 / Rᵥ) = Vₒ / R₂
兩邊同乘 R₂： Vₒ = 2(V_A - V_B) * (1 + R₂ / Rᵥ)
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4. 得出最終電壓增益
最後，將我們在步驟 2 求得的 (公式一) V_A - V_B = -(R₂ / R₁)Vᵢ 代入上式： Vₒ = 2 * ( -(R₂ / R₁)Vᵢ ) * (1 + R₂ / Rᵥ) Vₒ = -(2R₂ / R₁) * (1 + R₂ / Rᵥ) * Vᵢ
將 Vᵢ 移項，即可得到最終的電壓增益解答： Vₒ / Vᵢ = -(2R₂ / R₁) * (1 + R₂ / Rᵥ)
以理想 OP（輸入電流=0、虛短路 V⁻=V⁺）分析。
設：
• 上端輸入電壓 = v₁、下端輸入電壓 = v₂，且 Vᵢ = v₁ − v₂
• 大 OP 的兩輸入端電壓相等：V⁻ = V⁺ = Vₚ
• 右下小 OP 是電壓跟隨器 ⇒ 其輸出 = 右下節點電壓 Vx
• 大 OP 輸出端（R3 上端）電壓 = V₀
1) 對大 OP 的兩個輸入節點寫 KCL
反相端（V⁻=Vₚ）：
(Vₚ − v₁)/R₁ + (Vₚ − V₀)/R₂ = 0
⇒ (R₁+R₂)Vₚ = R₂v₁ + R₁V₀
同相端（V⁺=Vₚ，且接到 Vx 經 R₂）：
(Vₚ − v₂)/R₁ + (Vₚ − Vx)/R₂ = 0
⇒ (R₁+R₂)Vₚ = R₂v₂ + R₁Vx
兩式相等相減：
R₂v₁ + R₁V₀ = R₂v₂ + R₁Vx
⇒ R₁(V₀ − Vx) = R₂(v₂ − v₁) = −R₂Vᵢ
⇒ V₀ − Vx = −(R₂/R₁)Vᵢ
2) 由 R3 得到輸出電流 Io
R3 上端到下端的電流（也就是流入負載節點、再往下的 Io）：
Iₒ = (V₀ − Vx)/R₃
代入上式：
Iₒ = −(R₂/(R₁R₃)) Vᵢ
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✅ 最終答案（Unicode）
Iₒ/Vᵢ = −R₂/(R₁R₃)
（負號代表方向：若你把 Iₒ 箭頭反向或 Vᵢ 極性對調，符號會跟著翻轉。）
題目 9：求 Vₒ / Vᵢ
這題是 理想反相運算放大器：
V⁺ = 0（接地）
在線性負回授下：
V⁻ = V⁺ = 0 （虛地）
且輸入電流：
i⁻ = 0
定義節點
令反相端節點
v₀ = 0
回授梯形網路節點：
v₁ ＝ 第一節點
v₂ ＝ 第二節點 v₃ ＝ Vₒ
所有電阻皆為 R
1️⃣ 求 v₁ 與 Vₒ 的關係
v₁ 節點 KCL
連接三條電阻：
到 v₀
到 v₂ 到地
(v₁ − v₀)/R + (v₁ − v₂)/R + (v₁ − 0)/R = 0
因 v₀ = 0：
(v₁ + v₁ − v₂ + v₁)/R = 0
3v₁ − v₂ = 0
v₂ = 3v₁
v₂ 節點 KCL
(v₂ − v₁)/R + (v₂ − v₃)/R + (v₂ − 0)/R = 0
(v₂ − v₁ + v₂ − v₃ + v₂) = 0
3v₂ − v₁ − v₃ = 0
3v₂ = v₁ + v₃
代入 v₂ = 3v₁
3(3v₁) = v₁ + v₃
9v₁ = v₁ + v₃
v₃ = 8v₁
因 v₃ = Vₒ
v₁ = Vₒ / 8
2️⃣ 在反相端 v₀ 寫 KCL
v₀ = 0
因 i⁻ = 0
只有兩條電流：
輸入電流
回授電流
(Vᵢ − v₀)/R = (v₀ − v₁)/R
代入 v₀ = 0：
Vᵢ/R = (0 − v₁)/R
Vᵢ = −v₁
代入
v₁ = Vₒ / 8
得到
Vᵢ = − Vₒ / 8
3️⃣ 求增益
Vₒ / Vᵢ = −8
✅ 最終答案
Vₒ / Vᵢ = −8
