尋犀記 (3)

三、遞迴

遞迴 (recurrence) 即是不停地返回自己的意思。

遞 = 依次；迴 = 返回。

在算術中，遞迴關係 (recurrence relation)、或遞迴公式 (recursive formula) 指的是，在經由無數次前進、返回之輪迴、所創生的歷史序列裡，某一項、和它的前一項之關係；因為，我們知道，每一次的輪迴、不過是依循著老掉牙的、不變的模式，所謂「太陽底下沒有新鮮事」，所以，只要研究其中的兩項，把它們之間的關係搞懂，就可以解答每一次輪迴、所依循的模式為何，從而、將它們一般化地掌握。

在哲學中，Pythagorean 學派的理念是：萬物皆「整」數，或者，放寬一點說，萬物皆「是由整數的加減乘除所構造出來的」數。

一切由算數運算所產生來的繽紛結果，都由以下的基本式子演化而成：

1 + 1 = 2

Pythagoras 將數 1 比作「種子」，而在佛教理論中，第八阿賴耶識又稱為「種子識」，兩者不謀而合。

所以：

數 1、相當於第八阿賴耶識，亦即，一。

數 2、相當於第七末那識，亦即，二。

第七末那識、又名「染污意」，和數 2 的運動、「流動」、「惡」、黑暗的泉源等意義相仿；Rhea 所代表的雌性，象徵「慾望」，隱含了「性」之意涵，也和第七末那識所具有的「執我」意義類似。

數 3、則相當於第六意識，亦即，三。

Pythagoras 說：由數 1 的「運動」、產生了數 2；又由數 1 之作用於數 2、從而產生了其後的數列。

老子曰：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」亦同此理。

在程式語言中，遞迴程序 (recursive process) 指的是，需要不時地呼叫自身的運算邏輯，這就好比，員工每做完一件事情、就要向老闆報告、等待老闆進一步的指示，而老闆一步、一步的指示，又促成了員工所做事情的一層、一層的深化，類似於搜尋樹的概念。

相對地，一種比較節省資源的迭代程序 (iterative process)、則是在一個迴圈 (loop) 裡面、不停地重複某個指令，這就好比，老闆交辦員工，不用向其回報、只要不停地操作某個動作就好了，這樣，員工就不必事事請示老闆，而可以比較有效率地執行一項工作。

在幾何中，Archimedes 運用了類似遞迴關係、而迭代逼近的方法、來求得圓周率 π 的逼近值。

Archimedes 逼近 π 的方法，是從給定圓的內接六邊形、和外接六邊形開始，逐次倍增多邊形的邊數，並使用每個多邊形邊長的總長、和給定圓直徑的比率，作為 π 的逼近值 (π ≈ 邊長總長/直徑)。

由於外接多邊形的周長將大於圓的周長，因此，得出的 π 逼近值將太大；同理，內接多邊形的長也會太小，產生較低的逼近值。隨著多邊形邊數的增加，兩個逼近值會向 π 夾擠而收斂。

而我們則從圓的內接四邊形開始，精神相同，卻可以更清楚地顯現圓周率 π 和 √2 的密切關聯。

前篇提到，單位「一」既然可以隨意設定，那麼，就讓圓的半徑長、為 1，也就是：將半徑為 1 的圓、用十字畫成四等份，再將這四個頂點，用直線連接起來。

半徑為 1 的圓，其內接四邊形的一個邊的邊長、為 √2。

換句話說，四分之一的圓周，其弦長為 √2，這是我們的第一次逼近，將其稱為 S。

現在，畫一條射線、平分四分之一圓周的內角，再將它和圓周相交的端點、與原來四分之一圓周的端點連接起來，這樣，會構成八分之一圓周的弦長 S’。

其中，S 代表四分之一圓周的弦，S’ 代表八分之一圓周的弦，兩者一同落在原來的四分之一圓周裡面，而 S’ 和 S/2，會構成直角三角形的斜邊、和底邊。直角三角形在靠近圓周之一端，而非在靠近圓心之一端。

S’ 是我們的第二次逼近。此即是，從四分之一圓周，推進到八分之一圓周的變化。

現在，畫一條射線、平分八分之一圓周的內角，再將它和圓周相交的端點、與原來八分之一圓周的端點連接起來，這樣，會構成十六分之一圓周的弦長 S’’。

其中，S’ 代表八分之一圓周的弦，S’’ 代表十六分之一圓周的弦，兩者一同落在原來的八分之一圓周裡面，而 S’’ 和 S’/2，會構成直角三角形的斜邊、和底邊。直角三角形在靠近圓周之一端，而非在靠近圓心之一端。

這代表，在八分之一圓周裡面，又會有一個小直角三角形，其斜邊，也就是十六分之一圓周的弦長S’’，則是我們的第三次逼近。此即是，從八分之一圓周、推進到十六分之一圓周的變化。

小直角三角形的對邊 b’，有：

b’ = 1 - a’

= 1 - √(1 - (S’/2)²)

得到了 b’，就可以套進剛剛的小直角三角形，利用畢氏定理，有：

S’’ = √ [b’² + (S’/2)²]

上式、是阿基米德圓周率近逼法的遞迴公式 (recursive formula)；透過類似迴圈 (loop) 的迭代程序 (iterative process)，這個自我指涉的公式，可以無窮進行下去，而無限逼近所求的 π 值。

此即：

S’’ = √ [b’² + (S’/2)²]

= √ [(1 - √(1 - (S’/2)²))² + (S’/2)²]

= √ [1² - 2 √(1 - (S’/2)²) + 1 - (S’/2)² + (S’/2)²]

= √ [1² - 2 √(1 - (S’/2)²) + 1]

= √ [2 - 2 √(1 - (S’/2)²)]

這是第一次遞迴的結果；再將 S’ = √ (b² + (S/2)²) 代入，則有：

= √ [2 - 2 √ [1 - (√(b² + (S/2)²) / 2)²]]

= √ [2 - 2 √ [1 - ((b² + (S/2)²) / 4)]]

= √ [2 - √ [4 - (b² + (S/2)²)]]

= √ [2 - √ [4 - ((1 - √(1 - (S/2)²))² + (S/2)²)]]

= √ [2 - √ [4 - (1² - 2 √(1 - (S/2)²) + 1 - (S/2)² + (S/2)²)]]

= √ [2 - √ [4 - (1² - 2 √(1 - (S/2)²) + 1)]]

= √ [2 - √ [4 - (2 - 2 √(1 - (S/2)²))]]

= √ [2 - √ [2 + 2 √(1 - (S/2)²)]]

這是第二次遞迴的結果。

上述的遞迴程序可以反覆地代入、拆解、計算，無窮進行下去，而無限逼近所求的 π 值。

Archimedes 援用的圓周率逼近法、獨立於現今解析幾何的座標空間、而與座標值無關。

現在，從解析幾何的觀點來看，我們可以將方才平分八分之一圓周內角的射線、與圓周的交點，稱為 (x₂, y₂)，而將平分四分之一圓周內角的射線、與圓周的交點，稱為 (x₁, y₁)。

要記得，圓的半徑長、為 1，二射線的夾角、為 22.5°。

用直線連接二端點，此線段、即等同於十六分之一圓周的弦 S’’，其長，可由兩點座標相減的位移向量 (displacement vector) 與自身之內積、再開根號求得。

此即：

S’’ = √ [(x₂ - x₁, y₂ - y₁)⋅(x₂ - x₁, y₂ - y₁)]

= √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

= √ [x₂² - 2 x₂ x₁ + x₁² + y₂² - 2 y₂ y₁ + y₁²]

= √ [2 - 2 x₂ x₁ - 2 y₂ y₁]

= √ [2 - 2 (x₂ x₁ - y₂ y₁)]

= √ [2 - 2 cos θ]

其中，θ 是二射線的夾角 22.5°。

上面的推理運用了三角、和內積的性質。

讓我們先複習一下三角、和內積：

單位圓，也就是半徑為 1 的圓，將其圓心、置於 (0, 0) 處。

那麼，在圓周上的每一個點，都可以用 (cos θ, sin θ) 來表示。

θ 是從 x 軸、逆時針旋轉到點半徑的角度 (degree)、或弳度 (radian)。

我們知道，餘弦 cos 有如下的性質：

cos (θ - η) = cos θ cos η + sin θ sin η

所以，可以創造一個運算符號，稱為內積 (dot product) · ，而定義兩個向量的內積運算、為：

(a, b)·(c, d) = a c + b d

文字敘述、即是：

將兩個向量的第一分量的數值、兩兩相乘，第二分量的數值、兩兩相乘，再把這些乘積加起來。

依此，向量的內積運算、將會符合 cos 法則，而不會僅是無意義的人為擬制。

依照內積運算的定義，兩個在單位圓周上的點相乘，亦即，取其內積，會成為：

(cos θ, sin θ)·(cos η, sin η)

= cos θ cos η + sin θ sin η

= cos (θ - η)

其中，(θ - η) 為兩個點半徑的夾角。

現在，令、兩個單位向量 A⃗ / ∥A⃗∥ 和 C⃗ / ∥C⃗∥、在單位圓上的座標分別為 (cos θ, sin θ) 和 (cos η, sin η)。

其中，∥A⃗∥ 和 ∥C⃗∥ 分別是兩個向量的長度。

向量、除以自身的長度，可以確保：單位向量的量、會等於 1。

兩個單位向量的內積，依照前述定義的推導，其結果、會等於：

cos (θ - η)

也就是說：

A⃗ / ∥A⃗∥ · C⃗ / ∥C⃗∥ = cos (θ - η)

換句話說：

A⃗ · C⃗ = cos (θ - η) ∥A⃗∥ ∥C⃗∥

以上，乃是餘弦 cos 的Ptolemy 恆等式 (Ptolemy’s identity)、與內積的關係。

將餘弦函數內，二角之相減、改為相加，就可以推導出餘弦 cos 的倍角公式 (double angle formula)：

cos (2θ) = cos (θ + θ)

= cos θ cos θ - sin θ sin θ

= cos² θ - sin² θ

= (2 cos² θ - cos² θ) - sin² θ

= 2 cos² θ - 1

因此：

2 cos² (θ) = 1 + cos (2θ)

這也就是：

cos θ = √ [(1 + cos (2θ)) / 2]

將等號兩邊、同乘以 2，會得到：

2 cos θ = 2 √ [(1 + cos (2θ)) / 2]

= √ [2 (1 + cos (2θ))]

= √ [2 + 2 cos (2θ)]

眼尖的讀者或許注意到，只要規定展開的項數、到 cos (90°) = 0 為止，就會構成餘弦函數對於其展開項的遞迴公式 (recursive formula)；再將初始值的夾角，依 2 的次方、無限細分，那麼，這個自我指涉的公式、就會依迭代程序 (iterative process)、無窮進行下去，而得到餘弦 cos 的 √2 展開式。

我們僅示範幾項 (因為初始值 θ = 22.5°，所以 4θ = 90°)：

2 cos θ = √ [2 + 2 cos (2θ)]

= √ [2 + √ [2 + 2 cos (4θ)]]

再將前述、由倍角公式產生的結果、代入十六分之一圓周的弦 S’’ 的式子，就有：

S’’ = √ [2 - 2 cos θ]

= √ [2 - √ [2 + 2 cos (2θ)]]

= √ [2 - √ [2 + √ [2 + 2 cos (4θ)]]]

此結果、與前述第二次遞迴之結果一致，

此即，和下式：

√ [2 - √ [2 + 2 √(1 - (S/2)²)]]

相吻合。