馬達設計:轉矩方程式 ( I )

2022/07/21閱讀時間約 4 分鐘
因轉矩方程式的重要性太高,細節太多,故在本篇提出講解。
先從單根的導電線開始,由羅倫茲力的說明,可以確認電場與磁場交互作用時,會產生羅倫茲力。將這段關係表示如下圖,電場就是電流I (Current,A),磁場就是磁通密度B (Magnetic Flux Density,T),作用的區域範圍以長度L(Length,m)表示,最終產生的F(Force,N)。
羅倫茲力方程式
將羅倫茲力的數學方程式以口語的方式描述則為,羅倫茲力F是來自於電流I及磁通B在區域範圍L內的作用力。
將這羅倫茲力的方程式,轉換到馬達結構當中;首先力F會由線性運動改為旋轉運動,因此以轉矩T(Torque,N‧m)來描述。而單條導電線會則為漆包線圈,除原本區域範圍的長度L之外,轉矩是一旋轉系統,需定義旋轉軸的相對位置,因此有了轉子直徑D(Diameter,m)此一參數。
這裡要注意一下,直徑D的來源其實是2r(Radius)。由於轉矩是以一個固定不動的旋轉軸,將力F乘上旋轉軸距離的結果;在馬達當中,剛好是轉子的半徑r。但由於線圈是一個迴圈,對稱於圓心的兩側,且產生的力向量是可以加總的,才可將原本應該用兩個單條電導體來描述的旋轉軸半徑距離r,簡化為一個漆包線圈的轉子直徑D表示。
單一線圈的轉矩方程式
同樣將單一漆包線圈的轉矩方程式以口語描述;轉矩T是來自於磁場B與電場I在一區域範圍L內的作用,且產生的交互旋轉力間距為轉子直徑D。
將方程式進一步擴充至多條線圈N(Number of Turns);此外在弗萊明定則中有提到電場與磁場需要正交才會產生最大的力矩,其角度關係式為Sin(δ),將其一併列入轉矩方程式中。
N匝線圈的轉矩方程式
轉矩T是來自於磁場B與電場I在一區域範圍L內的作用,且產生的交互旋轉力間距為轉子直徑D,且具有N匝的線圈同時作功,還需確認是否為正交關係Sin(δ)。
然而馬達內的轉子並非僅具有線圈,往往會有一磁性材料來協助磁場傳導,目前大多採用矽鋼片。則此一導磁材料會受到磁阻力Ft的作用,而產生磁阻轉矩T。如同線圈的羅倫茲力一般,磁阻力Ft同樣會作用在轉子半徑r的位置,也同樣基於旋轉對稱的原因,可簡化為轉子直徑D;也同樣受到角度Sin(2δ)的影響,但因磁阻力無極性差異,因此其角度係數為2δ。
若無法理解這係數為2的原因,不仿直接看下圖。圖中的轉子若與磁場垂直(90度)時,則轉子會固定不動,被磁鐵完全吸住,這時也代表磁阻力不產生作用。將90度代入公式中Sin(180度)=0,確實是從數學上表示了這角度位置將無磁阻力作用。
磁阻轉矩方程式
磁阻轉矩方程式的口語說法為,磁阻轉矩是由磁阻力Ft作用於轉子直徑D上,且需注意與磁場間的角度關係Sin(2δ)。
最終將線圈上產生的轉矩與磁阻力轉矩相疊加後,可得到完整的轉矩方程式。主要的變化在於轉子直徑的D產生相乘的效果,再公式中以平方的型式表現。而磁阻力Ft則是受到Sin(2δ)的影響,在目前的公式中消失了;因此這仍是一個簡化後的轉矩方程式,其主要為線圈所產生的轉矩。
轉矩方程式
事實上,查不同的研究或書籍,各個馬達都有不同的轉矩方程式,這之後也會分別介紹。但這版簡化過的轉矩方程式,為筆者最為推薦的一版,最主要的原因是此一數學的轉矩方程式,是最好對照真實的馬達結構。經由上述的解說,應該大概可以判斷每個符號所對照的物理意義,而下面筆者則列出其最表象的名稱。
T:馬達的力量大小
B:馬達內的磁鐵強弱
I:馬達給電的強弱
L:馬達的長度 (馬達業界一般會用積厚來稱呼)
D:馬達的直徑
N:馬達內部繞線的圈數
Sin(δ):線圈與磁鐵的位置
則我們可以簡單得到幾個對應的重點

B:磁鐵越強,馬達力量越大
I:給電越兇,則馬達力量越大
L:馬達越長,馬達力量越大
D:馬達越胖,馬達力量越大
N:線圈繞越多,馬達力量越大
Sin(δ):磁鐵跟線圈擺錯位置,馬達力量會變小
這就是筆者喜歡用這組來進行教學的原因,這組馬達轉矩方程式,可以讓人簡單的了解馬達中影響轉矩的要因,甚至簡單到看一下馬達的外觀就可以比較出那顆馬達出力比較大。
反過來說,這組轉矩方程式也很好背,筆者都是這樣記的。馬達的轉矩是來自於磁鐵(B)、電流(I)、馬達積厚(L)、轉子外徑(D)、線圈(N)及電場與磁場的正交關係Sin(δ),另外在提醒一下,跟轉子外徑是平方關係,就可寫出這方程式。對筆者來說,幾乎是看著一顆馬達,所寫出來的數學表示式而已。
重點整理:
馬達中的數學公式,其實都可以對照到真實。
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