本篇閱讀先備知識:電磁學,複變函數,固態理論
最近想有系統性的在把dielectric function 回顧一下 並整理一些心得:
其中比較有興趣的是思考Causility和Kramers-Kronig relation之間的關係:
http://lampx.tugraz.at/....../linearresponse/causality.php
https://en.wikipedia.org/....../Kramers%E2%80%93Kronig......
可以了解到如果系統存在遲滯效應的限制xi(t-t')=0, if t'>t, 則對應的response function的Fourier transform, x(w) 在w複數上半平面一定是analytic
透過 Cauchy's residue theorem 則可以寫下xi(w)實部與虛部之間的關係即為Kramers-Kronig relation, 而背後所對應的數學關係就是
Sokhotski–Plemelj theorem (名稱比較少用,在物理上主要是直接看到式子, 發音約為"Sokowski-Plemer"):
https://en.wikipedia.org/....../Sokhotski%E2%80......
由於實部和須部轉換必須是雙向consistent, 可以看到這個轉換其實是Hilbert transform,所以是可逆的:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform
因此只需要得到系統中的response function實部或是虛部就可以把完整的xi(w)計算出來,進而得到dielectric function: epsilon(w), 而不同邊界的解epsilon(w)=0, 就會得到不同的dispersion relation, 對應物理上的震動模式如:plasmon/surface polariton mode:
https://en.wikipedia.org/....../Surface_plasmon......
可以觀察到,最fundamental的物理是來自如何得到xi(w), 這通常會須要知道系統內的wavefunction透過perturbation 以及Fermi's golden rule來計算而得到
