高微筆記

球面幾何之三角形內角合不等於180度

左：過線外一點存在無窮多條直線，與已知直線平行 右：「Hyperbolic Geometry」三角形內角合衡小於180度

「Elliptic Geometry」三角形內角合為180度+球面面積

「Poincare Model」某生物其宇宙為「單位圓盤」，該宇宙受某種場內作用，圓弧垂直邊線之連接ＡＢ兩點為最短路徑

1. 凡所有相皆是虛妄，若見諸相非相，即見如來

2. 能量看不到，卻統籌物理世界（形而上統籌形而下）

3. 數學與物理的不同：數學「定理」：絕對真理，不因時空轉換；物理「定律」：找到自然背後的律，而非證明

4. 數學的本質：建立在不能再問的「公理」上

5. 歐式平面幾何５大公理：

(1) 兩點可連一直線

(2) 線段可任意延長

(3) 給定點ｏ及線段長ｒ可以以ｏ為圓心，半徑ｒ作一圓

(4) 凡直角皆相等

(5) 平行公理：過線外一點，可作一直線（且只有一直線）與已知直線平行此「公理」並不完備，如：直線兩端畫兩半徑圓為何必交於2點且將直線等分？

6. 1830年代由俄國數學家Labachevsky、匈牙利數學家Bolyai分別提出「非歐幾何」，即滿足歐式平面幾何之前４公理，但不滿足第５公理（不可由前４公理證明第５公理（平行公理）），如：過北Ｎ的直線為經線，恆與赤道相交，第5公理不成立

7. 生活中的「非歐幾何」：船沿固定方向走，船上的人覺得船在走直線，太空中的人覺得船在走圓，兩者都對，因為「非歐幾何」中點、線、面為「無定義名詞」

8. 球面幾何之「直線」為圓心在球心的「大圓」（太空人視角）

9.「非歐幾何」 如：「Elliptic Geometry」三角形內角合為180度+球面面積；「Hyperbolic Geometry」三角形內角合衡小於180度；「Poincare Model」某生物其宇宙為「單位圓盤」，該宇宙受某種場內作用，圓弧垂直邊線之連接ＡＢ兩點為最短路徑，如：光受重力會偏，未必走直線（第5公理不成立，因過線外一點存在無窮多條直線，與已知直線平行）

10. 微積分是什麼？微積分建立在什麼上面？微積分建立在「均值定理」上，「均質定理」建立在「連續函數最大最小值定理」、「中間值定理」上，「連續函數最大最小值定理」、「中間值定理」建立在「實數的完備性」上（有理數系無完備性，坑坑洞洞；實數系密密麻麻無坑洞，數軸是連續的）

[高等微積分] 第1講、數學的本質

2022/4/12