高微筆記

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球面幾何之三角形內角合不等於180度

球面幾何之三角形內角合不等於180度

左:過線外一點存在無窮多條直線,與已知直線平行 右:「Hyperbolic Geometry」三角形內角合衡小於180度

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「Elliptic Geometry」三角形內角合為180度+球面面積

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「Poincare Model」某生物其宇宙為「單位圓盤」,該宇宙受某種場內作用,圓弧垂直邊線之連接AB兩點為最短路徑

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1. 凡所有相皆是虛妄,若見諸相非相,即見如來


2. 能量看不到,卻統籌物理世界(形而上統籌形而下)


3. 數學與物理的不同:數學「定理」:絕對真理,不因時空轉換;物理「定律」:找到自然背後的律,而非證明


4. 數學的本質:建立在不能再問的「公理」上


5. 歐式平面幾何5大公理:

(1) 兩點可連一直線

(2) 線段可任意延長

(3) 給定點o及線段長r可以以o為圓心,半徑r作一圓

(4) 凡直角皆相等

(5) 平行公理:過線外一點,可作一直線(且只有一直線)與已知直線平行此「公理」並不完備,如:直線兩端畫兩半徑圓為何必交於2點且將直線等分?


6. 1830年代由俄國數學家Labachevsky、匈牙利數學家Bolyai分別提出「非歐幾何」,即滿足歐式平面幾何之前4公理,但不滿足第5公理(不可由前4公理證明第5公理(平行公理)),如:過北N的直線為經線,恆與赤道相交,第5公理不成立


7. 生活中的「非歐幾何」:船沿固定方向走,船上的人覺得船在走直線,太空中的人覺得船在走圓,兩者都對,因為「非歐幾何」中點、線、面為「無定義名詞」


8. 球面幾何之「直線」為圓心在球心的「大圓」(太空人視角)


9.「非歐幾何」 如:「Elliptic Geometry」三角形內角合為180度+球面面積;「Hyperbolic Geometry」三角形內角合衡小於180度;「Poincare Model」某生物其宇宙為「單位圓盤」,該宇宙受某種場內作用,圓弧垂直邊線之連接AB兩點為最短路徑,如:光受重力會偏,未必走直線(第5公理不成立,因過線外一點存在無窮多條直線,與已知直線平行)


10. 微積分是什麼?微積分建立在什麼上面?微積分建立在「均值定理」上,「均質定理」建立在「連續函數最大最小值定理」、「中間值定理」上,「連續函數最大最小值定理」、「中間值定理」建立在「實數的完備性」上(有理數系無完備性,坑坑洞洞;實數系密密麻麻無坑洞,數軸是連續的)

[高等微積分] 第1講、數學的本質

2022/4/12

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「我以為别人尊重我,是因為我很優秀,後來才明白,别人尊重我,是因為别人很優秀。」——魯迅
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