條件機率

在上一篇中提到當我們面臨選擇時, 可以從期望值的角度, 思考自己的決策, 但這時候會碰到一個問題, 就是你的決策會趨向保守, 雖然能約束你不要做壞事, 但也可能害你錯失許多機會。舉個例子, 在你初次跟心儀女生約會時, 鼓起勇氣牽起對方小手的前一刻, 你心裡的小劇場可能會長這樣, 你拿起紙跟筆開始畫樹狀圖, 假設我選擇牽下去, 成功的機率有50%, 我可能今晚會開心得睡不著覺, 但萬一失敗了, 除了被啪啪賞兩巴掌外, 她可能就再也不理我了, 那我會難過上好一陣子, 這個抉擇的期望值負的非常大, 因此就默默的把手放了下來。

修但幾勒, 這似乎有哪個環節出了問題, 如果照這個邏輯來看, 應該大家都不太敢跨出第一步吧, 而且把這個邏輯套用到其他地方, 比如: 業務, 做更進一步的銷售, 也需要冒著失去顧客的風險, 所以他們也很難向客戶更進一步銷售自家產品, 但這似乎跟我們的生活經驗相違背, 這到底是怎麼一回事呢? 訊號, 當我們看到某些事件發生時, 可以透過它來修正我們對於機率的估計。 舉個例子, 假設今天我想出門, 但不曉得等等會不會下雨, 我需不需要把晾在陽台的衣服收進來, 最直覺的做法是什麼? 查天氣預報, 噢不是, 我是說抬起頭來看看天空中雲的數量多寡, 老規矩畫個樹狀圖。根據過往的經驗, 我們大致可以算出, 下雨和沒下雨的機率分別為 50%, 50%

加入了新的資訊後, 我們可以進一步拓展這張樹狀圖。 根據觀察, 天氣降雨和沒降雨的機率皆為50%, 在降雨的天數中, 多雲的機率為80%, 少雲為20%, 而沒下雨的天數中, 多雲的機率為5%, 少雲的機率為95%

假設我們一共觀察了10000天, 裡面大約有5000天下雨, 5000天沒有下雨, 更進一步解析會發現, 有4000天是多雲且下雨, 1000天是少雲且下雨, 有250天是沒下雨但雲很多, 有4750天是沒下雨且雲很少的。因此在看到多雲的情況下, 接下來下雨的機率為 4000/(4000+250) 約94%, 是不是比只觀察下雨與否得出來的50%高出許多呢? (筆記: 在此我們採取頻率機率的計算。)

事實上, 在牽手或是銷售的例子裡也是如此, 在沒有任何資訊輔助的情況下, 我們會透過自身過往的經驗, 對於 “對方是否有興趣” 這件事的機率做出主觀評估, 但隨著經驗增長, 我們會開始習得一些其他的指標, 例如: 肢體語言, 對於對話的投入程度, 或是臉部表情的細微變化, 來幫助我們調整對於成功機率的計算, 進而優化我們的決策, 所以說練習很重要。

當然有另一種玩法是假設成功率為1%, 那我就無腦出手100次, 平均而言我就可以成功一次, 但這就要看場合跟用途, 如果你今天在做陌生開發, 希望幫公司找到新的客戶, 這是個不錯的想法, 但如果你無腦挑戰和100個陌生的異性進行親密的肢體互動, 那麼這就很可能是你的下場

舉個例子, 假設今天你咳嗽、微微有點發燒, 你會怎麼做? 到超商買快篩, 看看自己是否確診Covid-19。假設在台灣, 每10個人就有1人確診,

如同剛剛的做法, 我們假設共有10000人, 生病的有1000人, 沒生病的有9000人, 而生病且檢驗出來是陽性的有990人, 生病但快篩結果顯示陰性的有10人, 沒生病但驗出來是陽性的有900人, 其餘則有8100人。假設你快篩結果為陽性, 你染上新冠的機率約為52%, 也就是說你仍有48%的機率是健康的, 而當你是健康的情況下, 所被驗出來的陽性就稱為偽陽性。同理, 當你染上了新冠病毒, 卻被判定為陰性的機率大約只有 0.13%, 而這樣的情況便稱為偽陰性。

在這樣的題目設定下, 你會發現我的快篩將你誤診為陽性的機率很高, 這麼做有什麼目的呢? 透過這樣的設計, 每10000人中, 我只需要針對其中2000人左右進行更精密的檢查, 漏網之魚卻可以縮減到每1000人中只有1.3人。在醫療量能不足的情況下, 設計這樣的機制可以有效的節省人力以及其他資源。在這裡大家可以稍微感覺一下, 雖然透過蒐集資訊可以修正我們對於機率的估計, 但這樣的舉動也會大大提高成本, 甚至有時也會讓實驗變的窒礙難行。

而在這個情境裡還有另一個觀察點是: 快篩的靈敏度, 當我們將快篩的靈敏度設計的較高時, 它就較容易顯示陽性, 導致你明明沒有生病, 卻被誤判為陽性的機率會大幅提高, 但好處就是, 你有生病卻被判定為陰性的機率就會大幅降低, 形成寧可錯殺, 不可錯放的局面。然而, 如果調低靈敏度, 就會呈現完全相反的結果, 至於天秤該偏向哪一邊, 完全取決於實驗所需。

某些情況下, 兩個事件的發生與否是絲毫不相干的, 舉個例子, 今天下雨的機率和樂透開獎號碼中出現3的機率, 你無法透過樂透是否出現3來改變你對降雨機率的推測, 當然你也不可能透過下雨或是晴天來改變你對於3出現的機率的預測, 這時候我們稱這兩件事在機率上互相獨立。

除了獨立事件外, 還有另一種特殊的事件, 叫做互斥事件。什麼是互斥事件呢? 簡單來說就是當A發生了, B就必然不會發生, 舉個例子, 當一張樸克牌翻開後, 如果他是梅花三, 它就不可能同時又是黑桃二, 反之亦然, 所以我們就會說這兩件事情互斥, 像這樣的訊號就對於機率的判讀很有幫助。

今天我們看到了蒐集資訊如何改善對於機率的評估, 然而蒐集資訊是需要付出代價的, 如果花費大把精力在蒐集獨立事件的資料, 那會付出很多多餘的成本, 卻又無法對於我們所關注的議題做出多一點點的貢獻, 一切就徒勞無功了。

(aka. 事前先想清楚, 不要什麼都往電腦裡塞)

最後問問大家, 讓你判斷可以大膽牽下去的訊號是什麼呢？