綁架愛麗絲 之 地下邏輯 039

4 The Rabbit Sends a Little Bill: 重言式/析取消去派生規則

兔子送上一張小賬單 or 兔子派遣一隻小比爾

被愛麗絲一腳踢出煙囪的比爾

八

現在我們嘗試用命題邏輯 (propositional logic: 即命題的邏輯或語句的邏輯) 語言給予愛麗絲那漫不經心的推理一個形式化表述; 凡例先行﹐我們給吃論[2]的每一個簡單句指派一個大寫字母:⁴⁵

C : 我吃一口這些糕餅。

Z : 它 (吃一口糕餅) 會使我的身形變大或變小。

L : 它 (吃一口糕餅) 會使我變得更大。

S : 它 (吃一口糕餅) 會使我變得更小。

跟著用命題邏輯語言重寫組成吃論的命題:

• C ⊃ Z
• Z ⊃ (L ∨ S)
• ﹁L /∴ C ⊃ S

這裡的三個前提等同吃論[2]的前三個命題:

• C ⊃ Z = 如果我吃一口這些糕餅﹐它會使我的身形發生變化。
• Z ⊃ (L ∨ S) = 如果它使我的身形發生變化﹐它會使我的身形變大或變小。
• ﹁L = 不會使我的身形變大。

我們要證明 C ⊃ S﹐即「如果我吃一口這些糕餅﹐它會使我變得更小」。

下面有吃論[2]的一個證明。讀者先讀一遍﹐看懂得多少。如果忘記了一些命題 (語句) 聯結詞的真值定義或推論規則﹐可以重溫相關段落﹐再回到這裡﹐嘗試判斷一下下述證明有效與否。

行 1﹑行 2 和行 3 均是前提﹐「∴」之後的條件句是我們要證明的結論。設證明有 n 行﹐一般情況之下﹐作為推論的一個手段﹐如果結論是個條件句﹐我們便先假設結論的前件﹐再從這個假設 (連同原來的前提) 導出結論的後件 (第 n-1 行)﹐最後一步則是撤銷取得結論的後件的假設﹐即建立一個以假設為前件及以第 n-1 行為後件的條件句。這是本證明的一個推導架構。

有了這個認識﹐上述證明便不難閱讀。我們的假設 (行 4) 是行 1 的前件﹐將條件消去規則應用於行 1 和行 4 便得出行 5﹐即「Z」。行 5 碰巧是行 2 的前件﹐將條件消去規則應用於行 2 和行 5 便得出行 6﹐即「L ∨ S」。行 7 的推導可以理解﹐但所使用的卻沒有在前面提出過﹐需要略加解釋。首先﹐我們稱 ∨E/d 為「析取消去派生規則」⁴⁶﹐及從上述證明中抽取出應用此規則的三行。

早於第一章﹐我們將析取號 (∨) 介紹了給讀者。析取消去派生規則的用法完全對應析取號的定義﹐所以肯定一說即懂。倘若有一個析取句「L ∨ S」(即假設這是一個真句)﹐我們知道不能兩個析取項皆假 (因為如果兩者皆假﹐該析取句為假!)﹐因此﹐如果「L」假﹐即「﹁L」真﹐那麼﹐「S」必真。行 7 就是這樣取得的。

剩下的是最後一個步驟。行 4 假設「C」﹐至行 7 導出「S」﹐因此我們可以用條件句引入規則﹐在行 8 寫入「C ⊃ S」。這恰恰便是愛麗絲的推論: 如果我吃一口這些糕餅﹐它會使我變得更小。

於是愛麗絲吃一口糕餅﹐並欣喜地發現﹐她開始縮小了。

讀者要弄清楚邏輯和現實的界線。「如果我吃一口糕餅﹐它會使我變得更小」是愛麗絲用她的邏輯建立的一個關係﹐但聲稱「我吃一口糕餅」不一定會使她變得更小。愛麗絲要真的吃一口糕餅才能測試她在腦袋中用邏輯建立的一個關係會否成為事實。

身體縮小之後﹐愛麗絲匆匆跑出了那幢房子﹐見到一大群小動物和小鳥守在外邊﹐還有兩隻豚鼠拼命地給那隻可憐的小蜥蜴 —— 比爾 (Bill) —— 往嘴裡灌白蘭地酒。

愛麗絲一出現，那些動物全都朝她衝過來了。她拼命地奔跑，卻跑進到一片茂密的樹林裡。

「我要做的第一件事﹐」愛麗絲在林中漫無目的地走動時自語道﹐「是變回到正常大小﹐第二件就是去尋找通向那座美麗的花園的路。我確信這是最完美的計劃啦。」「讓我想一想，有什麼辦法長大呢？我覺得，我應該吃一點或者喝一點什麼東西; 可最大的問題是『吃喝什麼』？」

思量之間﹐愛麗絲在樹林深處邂逅到一只藍色的大毛毛虫﹐酷 (和冷漠) 如爵士樂的傳奇人物邁爾士‧戴維斯 (Miles Davis)﹐坐在一個大蘑菇上﹐安靜地吸著一個長長的水煙袋。

____________________

⁴⁵ 「C」來自「cake」;「Z」來自「size」;「L」來自「large」;「S」來自「small」。

⁴⁶ Derived rule of alternation elimination 或 disjunctive syllogism。

-| 再往下跳 ﹏﹏﹏>