The Nature of Code閱讀心得與Python實作：1.8 Acceleration

加速度就是單位時間內速度的變化量，這個定義很類似於速度的定義：速度就是單位時間內的位移量。從加速度和速度的定義就可以知道，加速度會影響速度，而速度會影響位置，寫成程式，就是對於每一幀畫面而言

velocity += acceleration
position += velocity

所以在寫程式模擬物體如何運動時，只要知道物體的起始位置和初始速度，在給定加速度之後，靠著上面那兩行程式，就能自動搞定一切，程式中並不會出現速度和位置的數值。這也就是說，在模擬物體的運動時，重點會是在於怎麼去計算加速度。

下列是在計算加速度時，可以考慮採用的演算法：

1. 加速度為定值
2. 完全隨機的加速度值
3. 加速度的方向朝向滑鼠游標的位置

接下來，就來看看使用不同的加速度計算演算法時，Mover這個類別裡頭的method要如何寫。

Algorithm 1: Constant Acceleration

把加速度設為定值是最簡單的一種加速度計算方式。當加速度為定值時，Mover的__init__()要修改成

# 取得顯示畫面的大小
self.screen = pygame.display.get_surface()
self.width, self.height = self.screen.get_size()

# 物件的起始位置
x, y = self.width//2, self.height//2 
self.position = pygame.Vector2(x, y)

# 物件的初始速度
self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)

# 加速度為定值
self.acceleration = pygame.Vector2(-0.001, 0.01)

而update()則改成

def update(self):
    self.velocity += self.acceleration
    self.position += self.velocity

在__init__()中，我們設定加速度的值是(-0.001, 0.01)，而速度的值是(0, 0)。所以，一開始的時候，物件是靜止不動的，然後在加速度的作用下，速度逐漸加快。

除了在__init__()中可以看到加速度和速度的數值外，在update()中，並未看到任何數值，那麼加速度究竟是怎麼作用在物件上，而讓它從靜止不動到快速地在畫面上移動的呢？要解答這個疑問，就要從加速度說起。

我們設定加速度的值是(-0.001, 0.01)，也就是在某一幀畫面物件的速度，都會比前一幀畫面物件的速度，在x方向會累加-0.001個像素；在y方向會累加0.01個像素。

當動畫開始之後，每一幀畫面的速度值就會累加上加速度的值。雖然加速度的值看起來很小，但不斷累積下來，積少成多之下，物件移動的速度，將會快到讓人在畫面上只能看到它模糊的影子，甚至也有可能根本就看不到。

舉例來說，如果fps是設定成60，那每經過一秒鐘，速度就會增加(-0.001, 0.01)*60=(-0.06, 0.6)。這也就是說，原本靜止的物件，在動畫開始的第一秒鐘，速度就已經變成(-0.06, 0.6)了。在第10秒鐘時，物件的速度變成(-0.6, 6)；在第100秒時，物件的速度是(-6, 60)。所以，這時候物件每1/60秒，就會移動(-6, 60)，這樣的速度，在640x360的畫面中，只需1/20秒，就能由上而下或由下而上，飛掠過整個畫面。

很顯然的，我們並不希望物件無限制地加速下去，設定一個速度的上限是個很合理的做法。

要設定物件的速度上限，方法很簡單：先算出速度的大小，如果速度小於上限值，就不需調整；如果速度大於上限值，就把速度的大小降為上限值。要達到這個目的，可以利用pygame的scale_to_length()來調整向量的大小。不過，因為scale_to_length()不能用在零向量上，所以必須先確定這個向量不是零向量：

if velocity.length() > top_speed:
    velocity.scale_to_length(top_speed)

另外，也可以先將向量正規化後，再縮放成需要的大小。而同樣的，normalize()也不能用在零向量上，所以必須先確定這個向量不是零向量：

if velocity.length() > top_speed:
    velocity = top_speed*velocity.normalize()

除了上述兩種方法外，也可以使用clamp_magnitude()或clamp_magnitude_ip()來把向量的大小限定在一個範圍內。這裡的ip指的是in place。這兩個函數的用法為：

clamp_magnitude(max_length)
clamp_magnitude(min_length, max_length)

clamp_magnitude_ip(max_length)
clamp_magnitude_ip(min_length, max_length)

如果只給一個參數的話，會將其視為是max_length。不過要注意的是，這兩個函數都還在發展階段，可能會有變動。

Exercise 1.4

略

下面這個例子，就是將定值的加速度以及最高速限的功能加入Mover類別中，讓物件的移動速度雖然會越來越快，但快到一個程度之後，就不會再加速。

Example 1.8: Motion 101 (Velocity and Constant Acceleration)

class Mover:
    def __init__(self):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 物件的起始位置
        x, y = self.width//2, self.height//2 
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 加速度為定值
        self.acceleration = pygame.Vector2(-0.001, 0.01)

        # 最高速限        
        self.top_speed = 10
    
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        # 加入限速功能
        if self.velocity.length() > self.top_speed:
            self.velocity.scale_to_length(self.top_speed)
        
        self.position += self.velocity
        
    def show(self):
        pygame.draw.circle(self.screen, (0, 0, 0), self.position, 24)            

    def check_edges(self):
        if self.position.x > self.width:
            self.position.x = 0
        elif self.position.x < 0:
            self.position.x = self.width
    
        if self.position.y > self.height:
            self.position.y = 0
        elif self.position.y < 0:
            self.position.y = self.height

                        
# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 1.8: Motion 101 (Velocity and Constant Acceleration)")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = (640, 360)
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

mover = Mover()

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    mover.update()
    mover.check_edges()
    mover.show()
    
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS) 

Exercise 1.5

在Mover類別新增accelerate()及brake()這兩個method，並修改update()。

在acclerate()中，加入限速功能。在brake()中，當速度的大小比加速度的大小還小時，直接將速度歸零，讓物件停止移動，以免最後變成倒著走。

class Mover:
    def __init__(self):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 物件的起始位置
        x, y = self.width//2, self.height//2 
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 加速度為定值
        self.acceleration = pygame.Vector2(-0.001, 0.01)

        # 最高速限        
        self.top_speed = 10
        
    def accelerate(self):
        self.velocity += self.acceleration
        # 限速功能
        if self.velocity.length() > self.top_speed:
            self.velocity.scale_to_length(self.top_speed)

    def brake(self):
        # 當速度的大小比加速度的大小還小時，必須將速度歸零，以免變成倒著走
        if self.velocity.length() > self.acceleration.length():
            self.velocity -= self.acceleration
        else:
            self.velocity *= 0
        
    def update(self):
        self.position += self.velocity
        
    def show(self):
        pygame.draw.circle(self.screen, (0, 0, 0), self.position, 24)            

    def check_edges(self):
        if self.position.x > self.width:
            self.position.x = 0
        elif self.position.x < 0:
            self.position.x = self.width
    
        if self.position.y > self.height:
            self.position.y = 0
        elif self.position.y < 0:
            self.position.y = self.height
            
  
# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 1.5")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = (640, 360)
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

mover = Mover()

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()

    screen.fill(WHITE) 
    
    pressed = pygame.key.get_pressed()     
    if pressed[pygame.K_UP]:
        mover.accelerate()
    elif pressed[pygame.K_DOWN]:
        mover.brake()

    mover.update()
    mover.check_edges()
    mover.show()
    
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS) 

Algorithm 2: Random Acceleration

接著來看第二個設定加速度的方式，也就是完全隨機的加速度值。

既然加速度值是隨機的，所以在Mover類別的__init__()中，就不再設定初始值，而在每次執行update()時設定。

Example 1.9: Motion 101 (Velocity and Random Acceleration)

class Mover:
    def __init__(self):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 物件的起始位置
        x, y = self.width//2, self.height//2 
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 最高速限        
        self.top_speed = 6
    
    def update(self):
        # 每次執行時，重新設定加速度
        
        # 加速度的方向是隨機的
        ax = random.uniform(-1, 1)
        ay = random.uniform(-1, 1)
        self.acceleration = pygame.Vector2(ax, ay)
        
        # 加速度的大小是隨機的
        if self.acceleration.length() > 0:
            self.acceleration.scale_to_length(random.uniform(0, 2))
            
        self.velocity += self.acceleration
        # 限速功能
        if self.velocity.length() > self.top_speed:
            self.velocity.scale_to_length(self.top_speed)
        
        self.position += self.velocity
        
    def show(self):
        pygame.draw.circle(self.screen, (0, 0, 0), self.position, 24)            

    def check_edges(self):
        if self.position.x > self.width:
            self.position.x = 0
        elif self.position.x < 0:
            self.position.x = self.width
    
        if self.position.y > self.height:
            self.position.y = 0
        elif self.position.y < 0:
            self.position.y = self.height

                        
# python version 3.10.9
import random
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 1.9: Motion 101 (Velocity and Random Acceleration)")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = (640, 360)
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

mover = Mover()

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    mover.update()
    mover.check_edges()
    mover.show()
    
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

在這個例子中，不僅加速度的方向是隨機的，就連大小也是隨機的。而從這個例子的模擬結果可以看出來，加速度並不是只有和運動中的物體的加、減速有關，舉凡速率的大小、方向上的任何變化，都與加速度有關。換句話說，藉由操控加速度，我們就可以操控物體運動的快、慢、方向。

有一點要注意的是，Example 1.9雖然也是隨機漫步的一種，不過和前一章的隨機漫步，卻有本質上的不同。前一章的隨機漫步，是用亂數來決定速度，所以每一步之間都是互相獨立的，彼此間並沒有任何關係；但在Example 1.9中，則是用亂數來決定加速度，然後再算出速度，所以每一步的速度，是根據前一步的速度和加速度來決定的。因為有這樣子的差異，所以Example 1.9的隨機漫步，會呈現出前一章的隨機漫步所沒有的，比較連續、滑順的移動方式。

Exercise 1.6

修改Mover類別的__init__()及update()即可

def __init__(self):
    # 取得顯示畫面的大小
    self.screen = pygame.display.get_surface()
    self.width, self.height = self.screen.get_size()
    
    # 物件的起始位置
    x, y = self.width//2, self.height//2 
    self.position = pygame.Vector2(x, y)
    
    # 物件的初始速度
    self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
    
    # 最高速限        
    self.top_speed = 6

    # Perlin noise的參數起始值
    self.xoff1, self.xoff2 = 0.21, 11111.57

def update(self):
    # 利用二個不同的Perlin noise來設定加速度值
    self.xoff1 += 0.01
    self.xoff2 += 0.01
    ax = noise.pnoise1(self.xoff1)
    ay = noise.pnoise1(self.xoff2)
    self.acceleration = pygame.Vector2(ax, ay)
    
    self.velocity += self.acceleration
    # 限速功能
    if self.velocity.length() > self.top_speed:
        self.velocity.scale_to_length(self.top_speed)
        
    self.position += self.velocity

Static vs. NonStatic Methods

這部分的內容主要是在說明p5.js的p5.Vector類別在使用上應注意的地方，故略過。

Algorithm 3: Interactive Motion

第三種加速度設定方式，比較複雜，但也比較有用，我們會讓物體加速度的方向，朝向滑鼠游標所在的位置。

既然我們想要讓物體加速度的方向朝向滑鼠游標的位置，那麼從物體位置到滑鼠游標位置的向量，它的方向就是我們所要的加速度的方向。假設物體現在位於position，而滑鼠游標的位置為mouse，則從物體到滑鼠游標位置的向量為

acceleration = mouse - position

acceleration這個向量的方向，就是我們想要的加速度的方向。

有了加速度的方向之後，再把acceleration這個向量的大小調整成我們要的大小就可以了。這部分的做法，跟先前在Algorithm 1中，針對物體的速度設定最高速限的做法是一樣的。假設acc_length是我們所要的加速度的大小，程式可以寫成

if acceleration.length() > 0:
    acceleration.scale_to_length(acc_length)

或

if acceleration.length() > 0:
    acceleration = acc_length*acceleration.normalize()

按照上述的做法來修改Mover類別的update()，就可以讓物件朝滑鼠游標的位置加速飛奔而去。

Example 1.10: Accelerating Towards the Mouse

def update(self):
    mouse = pygame.Vector2(pygame.mouse.get_pos())
    self.acceleration = mouse - self.position
    if self.acceleration.length() > 0:
        self.acceleration.scale_to_length(0.5) 
    
    self.velocity += self.acceleration
    # 限速功能
    if self.velocity.length() > self.top_speed:
        self.velocity.scale_to_length(self.top_speed)
        
    self.position += self.velocity

執行這個例子時會發現，圓球在抵達滑鼠游標位置時並不會停下來，而是會衝過頭，然後回頭再度往滑鼠游標加速靠近。圓球就這樣一直跑過頭再回頭，永遠到不了滑鼠游標的位置。之所以會出現這樣的情況，是因為我們並沒有設計減速的機制，好讓圓球能真正抵達想要去的位置。這個「抵達」的機制要如何設計，在後面的章節才會提到。

Exercise 1.8

修改Mover類別的update()：

def update(self):
    mouse = pygame.Vector2(pygame.mouse.get_pos())
    # 距離越遠，加速度越大
    # 乘上0.001以避免加速度太大，影響模擬效果
    self.acceleration = 0.001*(mouse - self.position)
    
    self.velocity += self.acceleration
    # 限速功能
    if self.velocity.length() > self.top_speed:
        self.velocity.scale_to_length(self.top_speed)
        
    self.position += self.velocity

主程式中，不執行mover.check_edges()，讓球可以跑到畫面外，這樣模擬效果會好一點。