排列組合與機率計算(二十二)某產品大量生產，若標示其平均含量為14.28%，標準差為2.52%，抽樣25件樣本時，想知道某成分含量超過15%或低於14%的機率。
我：
某產品大量生產，若標示其平均含量為14.28%，標準差為2.52%，抽樣25件樣本時，想知道某成分含量超過15%或低於14%的機率。
使用標準常態分布，Z值計算為：
Z = (樣本平均 − μ) ÷ (σ ÷ √n)其中μ=14.28，σ=2.52，n=25，故標準誤差為0.504。
1. 樣本平均為15%
Z = (15 - 14.28)/0.504 ≈ 1.428
NORM.S.DIST(1.428, TRUE) ≈ 0.9234
機率為 1 - 0.9234 ≈ 7.66%
2. 樣本平均為14%
Z = (14 - 14.28)/0.504 ≈ -0.555
NORM.S.DIST(-0.555, TRUE) ≈ 0.2895
機率約為 28.95%
由於母體極大，可視為無限大，故FPC修正為1，不影響結果。
若樣本平均值為14.28%，使用95%信賴區間：
14.28 ± 1.96 × 0.504 ≈ 13.29% 到 15.27%
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ChatGpt：
你整體的推導邏輯非常清楚，這裡我幫你重新整理與確認關鍵計算，並用統計語言清楚表達問題和答案。
🔢 題目整理：
母體平均數 μ = 14.28%
母體標準差 σ = 2.52%
樣本數 n = 25
所以，樣本平均數的標準誤：
σx̄=σ/√n=2.52/√25=0.504
因為總體數量「很多」，所以可視為無限大，FPC ≈ 1，不需修正標準誤。
📌 第一部分：樣本平均 ≥ 15% 的機率
Z=15−14.28/0.504=0.72/0.504=1.4286
查常態分布表或用 Excel：
P(x̄≥15)=1−NORM.S.DIST(1.4286,TRUE)≈1
✅ 機率：約 7.66%
📌 第二部分：樣本平均 ≤ 14% 的機率
Z=14−14.28/0.504=−0.28/0.504≈−0.5556
查 Excel：
P(xˉ≤14)=NORM.S.DIST(−0.5556,TRUE)≈0.2894
✅ 機率：約 28.94%
✅ 總結回答：
條件
抽樣樣本平均 ≥ 15%
抽樣樣本平均 ≤ 14%
這些機率可以使用 Excel 公式直接計算：
=NORM.S.DIST((15-14.28)/0.504, TRUE) ' 得 0.9234 → 1-0.9234 = 0.0766
=NORM.S.DIST((14-14.28)/0.504, TRUE) ' 得 0.2894
若你需要這兩區間 合計的極端機率（平均偏離正負方向）：
P(x̄≤14 或x̄≥15)≈0.2894+0.0766=0.366
✅ 代表在極端狀況（太低或太高）的機率約為 36.6%
需要我幫你畫出常態分布圖來視覺化嗎？還是你希望把這樣的分析做成自動化 Excel 模板？
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Deepseek：
嗯，好的，我現在要解決這個問題，就是關於產品含量的平均百分比在抽樣時的概率問題。
題目是說，某個產品的含量平均百分比是14.28%，標準差是2.52%。現在抽取25個樣本，求含量平均百分比在15%以上或者14%以下的概率是多少。
首先，我需要理清楚題目的各個條件和步驟。
題目裡提到，生產了很多產品，可以近似看作無限總體，所以在計算標準誤差的時候不需要用有限總體修正因數（FPC），也就是FPC=1。
因此，標準誤差σ_x̄就是σ除以根號n，也就是2.52%除以√25，對吧？√25是5，所以2.52%除以5等於0.504%，也就是標準誤差是0.504%。
接下來，題目需要計算的是樣本平均百分比在15%以上的概率和14%以下的概率，然後把這兩個概率加起來嗎？
還是分別計算？
不過題目裡說的是“15%以上，14%以下的機率”，這可能需要分開計算然後加起來，不過得確認是不是同時滿足兩個條件，不過一般來說，這兩個事件是互斥的，因為樣本均值不可能同時大於15%又小於14%，所以總概率就是兩者的概率之和。
首先，我需要計算當樣本均值x̄=15%時的Z值，然後用標準正態分佈表或者Excel的NORM.S.DIST函數來求概率。同樣，當x̄=14%時，計算另一個Z值，再求對應的概率。
對於x̄=15%的情況，Z的計算公式是（x̄ - μ）/(σ_x̄)。這裡μ是14.28%，σ_x̄是0.504%。所以Z=(15 - 14.28)/0.504 = 0.72 / 0.504。計算這個值，0.72除以0.504等於大約1.42857，對吧？四捨五入可能是1.428或者1.429，題目裡用了1.428。
然後用Excel的NORM.S.DIST(Z,1)來計算累積概率，也就是Z值左側的面積。
這時候得到的是P(X ≤ 15%)，但我們需要的是15%以上的概率，也就是1 - NORM.S.DIST(1.428,1)。
根據題目裡給出的結果，這裡得到的累積概率是0.923354071，所以15%以上的概率就是1 - 0.923354071 ≈ 0.0766，也就是7.66%。
接下來是x̄=14%的情況，Z值同樣是（14 - 14.28）/0.504 = (-0.28)/0.504 ≈ -0.55556，大概是-0.555。
這時候用NORM.S.DIST(-0.555,1)得到的是左側的概率，也就是P(X ≤14%)，題目裡算出來是0.28944733，也就是28.94%左右的概率。
那麼，這兩個事件的概率之和就是0.0766 + 0.2895 ≈ 0.3661，也就是36.61%的概率。不過題目裡是不是這樣直接相加呢？需要確認題目是否問的是兩者同時發生的概率，但顯然樣本均值不可能同時大於15%和小於14%，所以應該是兩個獨立事件的概率相加。
不過，在題目描述中，用戶可能已經給出了一些計算步驟，我需要檢查是否正確。
例如，用戶提到當x̄=15時，Z=1.428，得到累積概率0.92335，因此15%以上的概率是1 - 0.92335≈0.0766，即7.66%。而當x̄=14時，Z=-0.555，累積概率是0.2894，也就是28.94%的概率在14%以下。兩者相加就是7.66% + 28.94%≈36.6%的概率。
不過我需要確認這些步驟是否正確。
首先，標準誤差的計算是否正確。σ_x̄=σ/√n=2.52/5=0.504，沒錯。Z值的計算是否正確，是的。
然後使用標準正態分佈是否正確，是的，因為根據中心極限定理，樣本均值近似正態分佈，尤其當樣本量25足夠大時（雖然可能有些教科書認為30以上更好，但這裡題目已經允許使用正態分佈）。
然後，用戶還提到FPC的問題，也就是當總體很大時，有限總體修正因數可以忽略不計，即FPC=√((N-n)/(N-1))≈1，因為N趨向於無窮大，所以(N-n)/(N-1)≈1，因此FPC=1，沒問題。所以標準誤差的計算沒問題。
然後，計算Z值是否正確？當x̄=15時，Z=(15-14.28)/0.504=0.72/0.504=1.428，沒錯。當x̄=14時，Z=(14-14.28)/0.504=-0.28/0.504≈-0.555，沒錯。
使用Excel的NORM.S.DIST函數時，參數是Z值和1（表示累積分佈函數）。對於Z=1.428，累積概率是0.92335，所以右邊的概率是1-0.92335=0.07665≈7.66%。對於Z=-0.555，累積概率是0.28945≈28.95%，所以左邊的概率就是28.95%。兩者相加確實是0.0766+0.2895≈0.3661，即36.61%。
不過，題目裡問的是“某含量平均百分比15%以上，14%以下的機率”，這裡“以上”和“以下”是否應該分開計算然後相加，沒錯，因為這兩個區域在分佈的兩端，互不相交，所以總概率就是兩者的和。所以答案應該是大約36.61%的概率。
不過用戶提供的計算過程中，還提到了關於剛好等於某個值的概率，例如NORM.S.DIST(Z,0)，即概率密度函數的值，但題目中不需要這個，因為連續分佈中單點的概率為零，所以用戶可能在這裡有些混淆，不過題目中只需要累積概率，即區間的概率。
所以，總結一下，正確的步驟是：
1. 計算標準誤差σ_x̄=2.52/√25=0.504。
2. 計算x̄=15時的Z值：(15-14.28)/0.504≈1.428，對應的累積概率為0.92335，因此15%以上的概率是1-0.92335≈0.0766。
3. 計算x̄=14時的Z值：(14-14.28)/0.504≈-0.555，對應的累積概率為0.28945，即14%以下的概率是0.28945。
4. 兩者相加得到總概率≈0.0766 + 0.28945≈0.3661，即36.61%。
因此，答案應該是這兩個概率的和，約36.61%。
某產品產量假設生產了很多（視為無限總體），其某含量平均百分比為14.28%，標準差2.52%。當抽樣25個樣本時，樣本平均百分比在15%以上或14%以下的機率計算如下：
1. 標準誤差計算：
σx̄ˉ=σ√n=2.52/√25=0.504%
2. 計算15%以上的機率：
o Z值計算：
Z=15.0−14.28/0.504≈1.428
o 使用標準常態分佈，計算Z值左側累積機率：
P(x̄≤15%)=NORM.S.DIST(1.428,1)≈0.92335
o 因此，15%以上的機率為：
3. 計算14%以下的機率：
o Z值計算：
Z=14.0−14.28/0.504≈−0.555
o 使用標準常態分佈，直接得左側累積機率：
4. 總機率：
答案：某含量平均百分比在15%以上或14%以下的機率約為 36.61%。
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