統計急救箱─常態Z分數與Z檢定

　　終於要開始講統計檢定的實作部分了。

　　其實我覺得之前我有點太急躁，先進入了t分數的概念介紹，現在又回來講Z分數的檢定操作順序不太對。為了讓順序比較恰當，這篇比較晚發的文章被設定成假設檢定後的下一篇。

　　希望未來的人看到的時候，順序會比較正確一些。

　　這篇前面還是帶到了前面幾篇講過的觀念，所以滿長的。已經了解前面概念的人，可以直接跳到「用實際數值做一次假設檢定」的段落開始看。

複習：假設檢定怎麼看？

　　還記得之前解釋過假設檢定的基本邏輯，我們現在來複習一下：

首先，我們知道常態分布曲線從中心往左右延伸各一個標準差，這個區間的數值發生機率為68%。如果延伸兩個標準差，這個區間的數值發生機率就是95%。如果忘記所謂的「這個區間的數值」實際上指的是什麼（其實就是X軸的值），可以回頭到統計急救箱─常態分布與假設檢定（上）裡面看喔。

　　所以現在我們應該知道怎麼解讀這兩張圖了：如果有一群資料的機率分布如同那個藍色面積的曲線（它正式的名字是──平均數為0且標準差為sigma的常態分布曲線），那麼我們得到觀察結果1的機率，應該介於68%到95%之間。

　　上面的原則說是說了，但怎麼好像還是聽不太懂...例如說那個觀察樣本的值（在X軸上的位置）到底是怎麼算出來的？或者那個68%的區間到底具體上是指哪裡到哪裡？可能會有這樣的困惑。

　　沒問題，我們就用實際的數值來看看吧！

用實際數值做一次假設檢定：找出臨界值 (CV)

　　首先，我們一定會從一群數值開始。假設現在我手上有五個人的某種資料...例如他們對自己工作滿意度的評分好了。這五個人的分數可以算出一個平均數，就是下面那橘色的人形。

好久不見這些小人了，平均數為-1，看起來他們不太喜歡自己的工作...

從這五個人身上得出一個平均分數，就如同之前介紹過抽球的例子一樣，像是從整體人群（一整袋球）之中抽出5個人（五顆球），並計算其平均分數。當我們重複做這件事情無數次之後，把每一次的結果畫成次數分配圖（或者機率圖），就會形成一個常態分配，我們稱之為抽樣分布。詳細的過程請見統計急救箱─抽樣分布與中央極限定理（二）。

　　在統計急救箱─抽樣分布與標準誤當中也有提到過，這種抽樣分布之所以很重要，原因就是：只要知道抽樣分布的平均數與標準差，我們就能計算觀察結果出現的機率。而根據假設檢定的概念，我們並不需要精確知道發生機率到底有多大，我們只要知道這個觀察結果發生的機率是不是很小，就能有比較充足的信心說：母體的平均是否和目前的觀測結果不同。詳細的邏輯推論過程，請見統計急救箱─常態分布與假設檢定（下）。

抽樣分布的平均數與標準差至關重要

　　而我們又已經知道當我們觀察得到的數值，也就是上面算出來工作滿意度的平均數，和「假設的」母體平均數之間有超過2個標準差的時候 (其實2個標準差只是近似值，後面會解釋)，表示若假設為真，這個觀測出現的機率極小，因此假設的母體平均數不正確的機率較高，稱之為拒絕虛無假設。

　　那當我們知道母體平均數是多少，也知道抽樣分布的標準差是多少的時候，這個問題就簡單得很了。我們來看看下圖，這是一個母體平均為0.5，抽樣分布標準差為0.25的常態曲線：

綠色線段所在的X軸位置，就是68%的臨界值

黃色線段則是95%的臨界值

可以非常簡單就算出，68%機率的區間應該是介於X軸上0.25~0.75的範圍之間，而95%機率則是介於0~1之間。這個區間的上下限，也就是上圖黃色虛線下方標記出的X軸數值，就是所謂的臨界值 (critical value, CV)。當超出這個臨界值的時候，我們就會知道如果虛無假設為真（也就是若母體平均為0.5），則觀察到目前結果的機率非常小（低於5%），因此推測母體平均不為0.5（拒絕虛無假設）。

　　如果覺得上面的這一串真的太拐彎抹角了，需要一個超級懶人包，那我只好整理出來（雖然不推薦用這種過於簡化的方式記憶）：

超出95%臨界值 → 獲得顯著的結果 → 拒絕虛無假設

所以最開始那五個人，他們的工作滿意度平均數就顯著的小於0.5。假如他們都是同一個公司的員工，那我們就可以推論這間公司的員工，工作滿意度分數可能是低於0.5分的 [*1]。

每次臨界值都要重算嗎？使用常態Z分數就不煩惱

　　就像上面演示的一樣，一旦知道母體平均數和抽樣分布的標準差，那找出臨界值就是輕而易舉。只要把母體平均數加、減兩倍的標準差，就可以得到95%機率的臨界值啦～

　　不過呢，這樣面臨到了一個麻煩 [*2]，那就是只要母體平均數和抽樣分布標準差不同（例如數學考試和英文考試有各自不同的母體平均和標準差），不就每次臨界值都要重算？超級無敵麻煩的啦！

　　不過...要解決「不同分數之間標準差和平均數不一致」這個困擾，好像在很～～～久之前曾經講過類似的事情。那就是把所有分數通通都轉換成「標準分數」就可以啦 (統計急救箱──標準分數)，只不過公式長得跟之前有點不同：

抽樣分布的Z分數公式

　　不過這個公式實際上怎麼用來解決剛剛的問題呢？我們先來理解概念，然後代換成剛剛例子中的實際數值就會比較好理解了。

符號解析

　　先來看看右邊的符號們。要記得，上面用來做虛無假設檢定的分布是抽樣分布，所以公式中的x bar (就是x上面有一個槓槓的符號) 就是這次觀測所得到的平均數（也就是五個人的工作滿意度平均數：-1）。

　　 mu則是母體平均數，這個應該不陌生了吧

　　分母的SD_{x bar}則是指「抽樣分布的標準差」，如果想知道這符號到底是怎麼寫成這怪樣子的，我放在文末補充的地方。

　　而公式左邊，則表示這是「x平均數的Z分數」。這是當然的，因為我們就是要把平均數轉換成Z分數嘛。

實際計算

　　知道每個符號都代表什麼意思後，我們來實際代入數字可能就會讓一切更清楚了。在剛剛的例子裡面，這次的五人工作滿意度平均分數為-1，從上面圖中可以看到母體平均數為0.5，抽樣分布標準差為0.25。

　　那麼！這次這五人的工作滿意度平均數，其Z分數為多少呢？答案就是 (-1 - 0.5) / 0.25，最後結果是 -6 喔~

轉換成Z分數的目的

　　還記得我們為什麼要把平均數轉成Z分數嗎？因為我們不想要每次母體平均數和抽樣分布標準差一改變，就要重新計算一次臨界值嘛。

　　而Z分數可以解決這個困擾。事實上，這個Z分數有個比較特別的名字，它叫做「常態化Z分數」，特別加上一個常態化就是要強調這是由一個常態分布（也就是抽樣分布）轉換成的Z分數 [*3]。

　　那麼常態化Z分數的95%臨界值究竟是多少？答案是正負1.96 [*4]。也就是下圖中那個95%的紅色箭頭，其真正涵蓋的X軸範圍是-1.96 ~ +1.96這個區間。看起來指到2的位置只是因為1.96和2太接近了，圖上面看不出來。

95%的範圍不是-2到+2喔！

同樣的，一個非常簡化的懶人包會這樣說：

如果確定這個Z分數是常態的，只要觀測到的Z分數值超過1.96或小於-1.96，就可以拒絕虛無假設。

　　上面這個過程，也就是所謂的Z檢定囉！

檢定結果

　　那麼，上面那五個人的工作滿意度平均分數 (-1)，在Z檢定裡面有沒有顯著的小於0.5呢？

　　因為我們剛剛算出來，他們工作滿意度的平均分數轉換為Z分數是-6。那-6有沒有小於-1.96？不只有，而且還差很多。這時候我們就會在統計報告裡面寫下面這段話：

Z檢定結果顯示工作滿意度分數顯著小於0.5，Z = -6.0, p < .05。

怎麼突然冒出那個p < .05啊？其實這個翻成中文的意思就是「機率 (p) 小於5% (0.05)」的意思。這5%怎麼來的呢？如果不知道的話可以參考統計急救箱─常態分布與假設檢定（下）的說明喔。

　　手上的專案應該快要上軌道了，希望能夠增加更新的頻率。

註解

[*1]: 其實不能這樣推論，因為五個人樣本實在太少了。這裡只是演示一下整個實作過程。

[*2]: 如果好奇為什麼「不知道母體平均和抽樣分布標準差是多少」不算是個麻煩，那只是因為這是下一篇的主題，而我不想在這裡破梗。

[*3]: 既然有常態化Z分數，就表示有非常態化的Z分數嗎？沒錯。事實上Z分數不會改變分布的長相，所以所謂的常態Z分數，就表示原本的分布就是常態的。那麼當然如果原本的分布不是常態的，轉成Z分數也不會是常態的囉～

[*4]: 正負1.96是常態Z分數的雙尾檢定95%臨界值 (如果比較不精準一點，就會進位變成2，這也是為什麼前面會用2來示範計算臨界值的原因)，雙尾檢定是社會科學裡面比較常用到的檢定。而至於單尾檢定，這個急救箱暫時沒有打算解釋那是什麼，但網路上應該有非常多資料可以參考。

補充

　　為什麼那個公式分母的SD旁邊的小足標要用x bar而不是x呢？這是因為「抽樣分布是由無數個x bar所組成的分布」。也就是說，組成抽樣分布的最小單位是x bar而不是x，所以要計算這個分布的標準差的時候，在足標加上x bar就是告訴讀者說：嘿！這個標準差是從x bar組成的分布得到的，而不是從x組成的分布所得到的喔！

　　如果上面這段看不懂也沒關係，因為這是比較抽象的解釋。繼續接觸統計的話，有天就會像是頓悟一般的懂了，至少我以前是這樣的。

致謝

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