[十分鐘個經] Ch.4 (2) 一分錢這樣花 --消費者的選擇

　　各位好，歡迎回到伍德的十分鐘個體經濟學。前一節中，我們提到給定消費者主觀的偏好(無異曲線)，以及客觀上的所得限制，消費者會想在不超出所得限制下，極大化他的偏好。也就是解以下的問題：

Maximize U(x₁,x₂) subject to x₁P₁+x₂P₂≦I

MU₁(x₁*,x₂*)/MU₂(x₁*,x₂*)=P₁/P₂。

　　換句話說，在這個點上，消費者花一塊錢在x1上和x2上得到的邊際效用是相等的。而在幾何上，我們固定所得限制式、挪動無異曲線，直到兩者剛好相切，而切點就是最佳的消費組合(x₁*,x₂*)。

上圖中的C點就是最佳的消費組合

　　今天我們從此出發，來探討在幾個極端的特別情況下，消費者如何決策。

線性效用 (Linear Utility)

　　線性效用中，U(x₁,x₂)=ax₁+bx₂，其中a和b為大於0的常數。我們在Ch.2 (3)提過，這代表x₁和x₂是可以完全替代(Substitute)的商品。兩個商品對消費者感覺沒差、怎麼交換都一樣。舉例來說，600毫升的礦泉水和1公升的礦泉水就是這樣的例子。消費者只在意有多少水：U(x₁,x₂)=0.6x₁+x₂。

　　計算線性效用的邊際效用很直接：MU₁=a；MU₂=b，換言之，多了一個x₁(x₂)給消費者的效用多a(b)。而邊際替代率MU₁/MU₂=a/b，是個不隨x₁和x₂而變的常數。以礦泉水的例子來說，MU₁/MU₂=a/b=0.6。表示拿掉一罐600毫升的礦泉水，需要補我0.6罐1公升的礦泉水才能維持我的效用不變。

　　那麼現在給定價格P₁/P₂，消費者照理應該找出讓MU₁/MU₂=P₁/P₂的組合(x₁,x₂)。然而兩邊都是常數，怎麼變動都沒有意義。我們從圖上來看怎麼回事。

　　假設U(x₁,x₂)=0.6x₁+x₂，而P₁=20，P₂=25，那麼線性效用的斜率絕對值應該是0.6。另一方面，黑色的所得限制式斜率絕對值則是P₁/P₂=0.8。我們有MU₁/MU₂<P₁/P₂。

　　將無異曲線從內往外推，會先碰到A點。這是指將所有錢花在X₁上；但是這並不是最好的組合。繼續往外推，推到極限是B點，將所有錢花在X₂上，而這才是最好的選擇(角解)。事實上，因為MU₁/MU₂<P₁/P₂，我們有MU₁/P₁<MU₂/P₂，代表把一塊錢花在X₁上，不如花在X₂上，所以最後才會把所有所得花在X₂上。

　　再用實際的數字說得白話點，600毫升的礦泉水賣20元、一公升的礦泉水賣25元。前者一元可以買到30毫升，後者一元可以買40毫升，當然是後者比較划算。

練習：同樣是U(x₁,x₂)=0.6x₁+x₂。現在假設而P₁=20，P₂=40。很明顯MU₁/MU₂>P₁/P₂。試著重作上面所有分析。

　　最後提一個特別的狀況：如果P₁=30，P₂=50，那麼我們就有MU₁/MU₂=P₁/P₂。這種狀況下消費者只管把所得花光就好，預算限制式上的每個點都是最好的選擇。用前面的例子說明，不管是買600毫升還是一公升的礦泉水，一元都是買到20毫升，買哪個都沒差。

將無異曲線往外推，最後剛好能貼在預算限制式上。

最後我們總結一下關於線性效用的討論：

1. MU₁/MU₂<P₁/P₂(MU₁/P₁<MU₂/P₂)：將所得全部花在x₂上。
2. MU₁/MU₂>P₁/P₂(MU₁/P₁>MU₂/P₂)：將所得全部花在x₁上。
3. MU₁/MU₂=P₁/P₂(MU₁/P₁>MU₂/P₂)：把所得花完的組合都是最佳組合。

列昂季耶夫效用(Leontief Utility)

　　列昂季耶夫效用中，U(x₁,x₂)=min{x₁/a,x₂/b}，其中a和b同樣是大於0的常數。我們說這代表兩個產品是完全互補(Complementary)的。a個x₁就非得要配b個x₂才行。最經典的例子是左腳鞋和右腳鞋，絕大多數狀況下非得一個配一個，其中一個多了也沒用。製造汽車時，也是一個方向盤要配四個輪子。

　　對列昂季耶夫效用而言，效用函數是無法微分的，所以從邊際效用到MU₁/MU₂=P₁/P₂的條件都是沒有意義的。要分析這種情況下消費者的行為就要回到最基礎的方式：固定所得限制式、往外推效用函數到極限。

　　現在考慮U(x₁,x₂)=min{x₁,x₂}(a=b=1)，那麼無異曲線們就是往外長的L型，而頂點位在45度線上。這個效用函數代表1個x₁非得配1個x₂才有意義，就像左腳鞋和右腳鞋一樣。

　　可以很明顯看到，最好的選擇就是A點。在這點上消費者把所得花光，同時消費組合中x₁和x₂的數目一樣(位於45度線上)，沒有浪費資源。也就是說，消費者將a個x₁和b個x₂看成一個組合，然後將所有所得拿去買這個組合，而不會買多餘的x₁或x₂。

柯布-道格拉斯效用(Cobb-Douglas Utility)

　　柯布─道格拉斯效用如下：

U(x₁,x₂)=Ax₁^ax₂^(1-a)

　　我們在第二章提過，這是經濟學家道格拉斯、柯布參考其他經濟學家的研究而設計出來的函數。以下為了計算方便我們假設A=1。

　　因此，我們知道P₁x₁:P₂x₂=a:(1-a)。最後注意應該要把所得全部花完，也就是：x₁P₁+x₂P₂=I。因此，x₁P₁=aI，x₂P₂=(1-a)I。最後可以解出：

x₁=aI/P₁；x₂=(1-a)I/P₂。

　　這是相當標準的最佳化問題，而數學不是科普專欄的重點，重點是怎麼理解這個結果：注意x₁P₁=aI，x₂P₂=(1-a)I，這表示消費者花了總所得的a部分在x₁上、花了剩下的(1-a)部分在x₂上。換句話說，原本函數的指數就代表消費者如何分配所得。

　　　在第二章我們提到，道格拉斯是為了分析國家總產出(Y)、資本(K)和勞力(L)投入才考慮這個函數。他從資料中注意到在國家總產出中，來自資本(機器設備)和來自勞務投入的比例大概是定值，所以才設定Y=L^aK^(1-a)。而在他1930年代的分析中，a大約是0.75。儘管之後的分析隨著工業化，來自資本和來自勞務投入的比例持續變動，使用Cobb-Douglas函數描述長期經濟的準確性備受質疑*1，但Cobb-Douglas函數依舊標誌著用數學和個體經濟學的角度去描述總體經濟一個重要的里程碑。

接下來呢？

　　今天我們討論在線性效用(替代品)、列昂季耶夫效用(互補品)和Cobb-Douglas效用下，消費者如何做出選擇。

　　接下來我們將要看看如果市場發生變動，又會對消費者產生什麼影響。可能是消費者的所得變動、也可能是產品的價格變動。我們會比較變動前和變動後的消費者選擇有什麼不同，這在經濟學上稱為比較靜態(Comparative Statics)分析。而下次我們就從所得變動開始，看看如果消費者的所得增加了，會對其消費產生什麼影響。究竟是會多買、還是少買一些。

　　那麼今天就聊到這裡。我是伍德，我們下一次十分鐘個體經濟學專欄見！

*1. 另一個質疑是道格拉斯只從資料上就推定來自資本和來自勞務投入的比例是定值，背後沒有經濟學解釋，就只是看數字說故事。這在模型設計上偏向化約形式(Reduced form)，而不是結構性(Structural)探討成因。