台灣課綱
基本定義
定義：指不等式中恰有一個未知數，且該未知數的次方數為 1
範圍
簡單形式：由具體情境中列出四種「 簡單一元一次不等式 」
- a x + b ≥ c
- a x + b ＞ c
- a x + b ＜ c
- a x + b ≤ c
條目限制：不涉及含有兩個不等號的「 雙邊不等式 」
口語約定
小於 ( ＜ )：口語對應為「 未滿 」或「 少於 」
大於 ( ＞ )：口語對應為「 超過 」或「 多於 」
小於等於 ( ≤ )：口語對應為「 不超過 」或「 至多 」
大於等於 ( ≥ )：口語對應為「 不少於 」或「 至少 」
符號邏輯
＊ 引自不等式符號｛ ≥ , ≤ , ＞ , ＜ ｝
逆反算子：以 ＊' 表示逆反關係
- 若 ＊ 表示 ≥ ，則 ＊' 表示 ≤
- 若 ＊ 表示 ≤ ，則 ＊' 表示 ≥
- 若 ＊ 表示 ＞ ，則 ＊' 表示 ＜
- 若 ＊ 表示 ＜ ，則 ＊' 表示 ＞
遞移律：若 a ＊ b 且 b ＊ c ，則 a ＊ c
加法等量公理：若 a ＊ b 且 c 為實數 ，則 a ＋ c ＊ b ＋ c
乘法等量公理：此為區分「 方程式 」與「 不等式 」兩者計算規則的明確分水嶺
- 若 a ＊ b 且 c 為正數 ，則 a × c ＊ b × c
- 若 a ＊ b 且 c 為 0 ，則 a × c ＝ b × c ( 非等價變換，一般條件下不討論 )
- 若 a ＊ b 且 c 為負數 ，則可以兩種方式進行指引
- 交換位置： b × c ＊ a × c
- 符號逆反： a × c ＊' b × c
補充：
- 德國 (Germany) - KMK 綱要指引
德國中學教材 ( Sekundarstufe I ) 強調 Äquivalenzumformung ( 等價變換 )。
在德國課綱中，解不等式的過程被視為一系列「 保持解集不變 」的邏輯變換。
故此 Äquivalenzpfeil ( 等價箭頭 ⟺ ) 即為整個系統中最為重要的一環，
可以適當提醒學生連結不等式時所使用的符號，作為運算透明化的工具。
原文註記："Eine Ungleichung behält ihr Relationszeichen bei Addition und Subtraktion bei... bei Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen um."
中譯：不等式在加減法時保持關係符號；乘以負數時，關係符號翻轉（Drehung）。
來源：Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (KMK, 2003/2004)
指引：第 12-13 頁，關於 "Leitidee Zahl" (數的概念) 與 "Operieren" (運算)。
教學特點：德國教材會要求學生標註變換算子。逆反算子在德國體系中是一種極佳的運算算子標註法。
- 法國 (France) - Cycle 4 數學綱要
法國教材非常看重「 序的性質 ( L'ordre ) 」。
原文註記："L'ordre est inversé par la multiplication par un nombre négatif."
中譯：序的關係被負數乘法逆轉。
來源：Programme du cycle 4, Bulletin officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015.
指引：Nombres et calculs (數與計算) - Ordre et multiplication.
教學特點：法國學生習慣用符號組合來描述這種變化，逆反系統幾乎就是法國高中預科（Classes Préparatoires）邏輯訓練的簡化版。
- 教學現場的潛在謬論預防
推廣這套符號時需注意一個「 心理學謬論 」
「雙重否定」陷阱
學生在處理 1 ＜ 2 時，如果同時執行了「 位置交換 」又執行了「 符號逆反 」
就會得出 － 2 ＞ －1，這反而變回了正確答案的反面強調「 位置 」與「 符號 」的變動是二選一的操作，不能同時對同一次運算生效
代數解定義
當一元一次不等式中的未知數代入一個數 a 時，能使不等式成立，則 a 為其解
幾何解定義
能在數線上標出一元一次不等式解的解集範圍，有以下重點需要提醒學生
- 解集端點 / 邊界：具體分辨不等式符號是否包含「 等於 」的可能性
- 若是使用 A ≥ x 或 A ≤ x，則在數線上用實心點標出 A
- 若是使用 B ＞ x 或 B ＜ x，則在數線上用空心點標出 B
- 解集圖像化：以「 斜線 」或「 粗線 」示意解的範圍
具體情境應用 / 釋例
- 活用解析工具：通過 列式求解 需將現實限制轉化為不等式。
- 性質篩選：解集雖然是連續的範圍，但必須根據問題性質選取符合範圍的整數
- 引入「 三一律 」或「 正負數性質 」說明「 乘法變號規則 」
適當引入
開閉區間與符號
錯誤類型分類彙整
手冊列出了學生在學習此章節時最常出現的三大邏輯與運算偏差：
- 規則遺忘：最常見的錯誤是「 忘記在兩側同乘除負數時改變不等號方向 」
- 變數偏誤 ( Variable Bias )：心理上直覺認為未知數 x 代表正數，導致判斷犯錯
- 解集混淆：誤認解集元素為「 離散數 」，而忽略了範圍內其他的「 連續數 」
全球課綱對照與教學分歧彙整
美國
強調運算推理與數線邏輯 ( Common Core State Standards )
美高/美中體系（CCSS）與台灣最大的不同在於，他們更強調「為什麼」規則會運作，而非僅僅是「如何」解題。
原文註記："Solve word problems leading to inequalities of the form px + q > r or px + q < r ... Graph the solution set of the inequality and interpret it in the context of the problem."
中譯：解決導致 px + q > r 或 px + q < r 形式不等式的應用題... 畫出不等式的解集圖像，並在問題的情境中解釋其意義。
引用來源：CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.B
教學特點：美國課綱特別強調「 情境解釋 」。
例如在應用題中得到 x < 7.92 時，學生必須能口頭解釋為什麼在買門票時只能買 7 張。
台灣課綱雖有釋例，但 CCSS 將「 解釋（Interpret）」直接列為評量標準。
新加坡
強調代數操弄與符號嚴謹性 ( MOE Syllabus )
新加坡數學在初中階段 ( Lower Secondary ) 對不等式的處理非常紮實，特別是針對代數項的處理。
原文註記："Solving linear inequalities in one variable (including reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number) and representing the solution on a number line."
中譯：解一元一次不等式（包括在乘以或除以負數時翻轉不等號），並在數線上表示解。
引用來源：Singapore MOE Secondary Mathematics Syllabus (Page 31)
教學特點，與台灣 108 課綱相似，新加坡亦強調數線表示法。
英國
強調與方程式的類比與聯繫 ( National Curriculum )
英國 Key Stage 3 (11-14歲) 的設計將不等式與方程式視為一體兩面。
原文註記："Use algebraic methods to solve linear inequalities in one variable; represent the solution sets of symbols and on a number line."
中譯：使用代數方法解一元一次不等式；用符號及在數線上表示解集。
引用來源：UK National Curriculum - Mathematics KS3
教學特點：英國課綱明確要求學生並行掌握「符號表示」與「圖形表示」。
分歧在於，英國部分教材會較早引入「整數解集」的枚舉（Listing integers that satisfy an inequality）
這在台灣被列為問答合理性的條件限制，在英國則是作為理解範圍的一種手段。
IB
強調「全球背景」與「概念理解」
在IB 課程中，不等式通常被視為建模 ( Modeling ) 的工具
原文註記："Solve and graph inequalities in one variable... and use them to model real-life situations and make decisions."
中譯：求解並繪製一元不等式... 並利用它們來模擬現實生活情境並做出決策。
引用來源：IB MYP Mathematics Framework
教學特點：IB 不單純訓練運算技巧，更強調「判斷」。
要求學生在給定的全球背景（如資源分配）下，設定不等式邊界並解釋解的含義。
日本
強調「性質」的理解。
日本在初二（相當於台灣國二）才正式深入不等式，但其邏輯極其嚴謹
原文註記：「不等式の性質を用いて，一元一次不等式を解くこと。負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わる理由を理解する。」
中譯：利用不等式的性質解一元一次不等式。理解乘以或除以負數時不等號方向改變的原因。
引用來源：日本中學校學習指導要領 - 數學 - MEXT - 文部科學省
教學特點：日本教材非常看重「理由（Reasoning）」
在評量中，學生常被要求解釋「為什麼變號」
南韓
韓國數學以高強度運算和邏輯嚴密著稱。
原文註記："일차부등식의 성질을 이해하고 이를 이용하여 일차부등식을 풀 수 있다. 실생활 상황을 부등식으로 나타내고 해결할 수 있다."
中譯：理解一次不等式的性質並能以此解題。能將實際生活情境轉化為不等式並解決。
引用來源：South Korea National Curriculum (Math)(NCIC - 國家教育課程情報中心)
教學特點：韓國與台灣相似，將不等式視為銜接函數（Function）的橋樑，但在應用題的複雜度（如連立概念的預熱）通常高於台灣。
中華人民共和國
重視嚴謹性與專業性
中國大陸的教學對「解集 (Solution Set)」的概念要求非常早且嚴格。
原文註記：「理解不等式的基本性質。能解簡單的一元一次不等式，並能在數軸上表示出不等式的解集。」
引用來源：中華人民共和國教育部 - 義務教育課程方案 - 新課標
教學特點：中國大陸教材會特別強調「不等式組」的銜接。
即使在國一階段，也會要求學生精確區分「 解 ( 單個值 ) 」與「 解集 ( 整個範圍 ) 」
這與台灣課綱手冊中提到的避免學生誤認只有整數解的目標一致
法國
強調邏輯符號與區間表示法
法國數學教學帶有濃厚的布爾巴基學派色彩
原文註記："Résoudre des inéquations du premier degré... Utiliser les notations d'intervalles (ex： x ∈ [ 2 , ∞ )."
中譯：解一次不等式... 使用區間符號標示（例如： x ∈ [ 2 , ∞ [。
引用來源：Eduscol - Mathématiques Cycle 4 (Éducation Nationale)
教學特點：這是歐洲與亞洲最大的分歧。
法國學生在國中階段就開始接觸區間符號（Interval notation），而不僅僅是數線。
這種符號化思維為高中微積分的定義域討論做好了超前準備。
德國 (KMK - 各州教育部長聯席會議)
強調「 Aussageform 」，即「 邏輯等價 」
德國教學將不等式視為一種邏輯判斷
原文註記："Lösungsmenge von linearen Ungleichungen bestimmen und systematische Variationen untersuchen."(中譯：確定線性不等式的解集，並研究系統性的變化（參數變換）。)引用來源：KMK Bildungsstandards für die Sekundarstufe I
教學特點：強調「變化」。他們會給出 ax > b，讓學生討論當 a 從正變為負時，解集的性質如何變化。是引入三一律處理「 未知係數 」邏輯漏洞的絕佳練習。
學習方式借鑑
在各國的教學體系中，處理這門課的方式可以歸納為三種主流的邏輯路徑，分別對應不同的教學哲學：
直觀歸納法（數線觀察）
這是最普及的做法，強調「 看見即相信 」（Seeing is believing）。
教師會引導學生在數線上標記數字，並觀察正負變號後的相對位置變化。
教學範例：
給定一個簡單事實： 2 < 5。同時乘以 −1：得到 −2 與 −5。
回到數線觀察：原本 5 在 2 的右邊，但現在 −2 在 −5 的右邊。
結論：因為數線右方大於左方，所以方向必須反轉。
各國特色：
美國：強調透過大量的數線操作（Number Line Operations），讓學生理解乘以負數就像是在原點（0）做了一個 180 度的旋轉（Reflection）。
新加坡：會結合其特色的「模型法」（Model Method），雖然模型法多用於運算，但在處理不等式時，他們更強調「數量的有序性」。
邏輯演繹法（代數置換）
這種方法不依賴數線，而是直接利用學生已經學會的「加減法移項」來證明變號的必然性
教學邏輯：
假設我們要處理 － x ＜ 5。
為了讓 x 變成正的，將 － x 移項到右邊，將 5 移項到左邊。
算式變成：－ 5 ＜ x。
重新排列： x ＞－ 5。
差異說明： 這種教法告訴學生：「變號」其實只是「兩邊同時移項」的簡化結果。
在邏輯上極其嚴謹，且能與方程式的規則 ( 加減不變 ) 完美銜接，避免學生認為變號是一個「莫名其妙的特例」。
函數與性質法
東亞教材通常會更早引入「不等式的性質」（ Properties of Inequality ），將其條列化並與「等量公理」進行嚴格對比。
對比表：舉例
這種教法強調「規律的總結」
學生會被要求背誦並反覆練習這些性質。
雖然初學時可能較為枯燥，但在應對複雜的代數變形（如含有未知係數的不等式 ax>b 的分類討論）時，學生的反應速度通常較快。
分析學的前導：引入「 幾何結構 」
在國際高等數學課程（如 IB DP Mathematics 或 Pre-Calculus）中，不等號的「 變號 」被視為「序關係 ( Order Relation ) 」在函數映射下的保序或反序表現。
當我們對不等式兩邊施加一個遞增函數 ( F ( x ) ＝ 2 x ），不等號方向不變；但施加一個遞減函數 ( G ( x ) ＝ － x ），大小關係必然翻轉。
- 遞增映射（保序性）：
當我們對不等式 a < b 兩邊施加一個嚴格遞增函數 F ( x )，由於函數值隨自變數增加而上升，其映射後的結果保持原有的序關係，即 F ( a ) ＜ F ( b )。在幾何上，這代表數線上的點經過平移或正向伸縮後，相對位置不變。
- 遞減映射（反序性）：
當我們對不等式 a < b 兩邊施加一個嚴格遞減函數 G ( x )，函數值的變化方向與自變數相反。在幾何結構上，這相當於將數線以原點為中心進行 180° 的旋轉（鏡射反射），導致原本較大的數映射後反而較小，故序關係必然翻轉，即 G ( a ) ＞ G ( b )
- 深度邏輯指引與國際課綱連結
IB Diploma Programme (Analysis and Approaches)
原文指引： "Understanding that a function is increasing if a < b → F ( a ) ＞ F ( b ) and decreasing if a < b → G ( a ) ＞ G ( b ) ."
學生應該知曉，若 a < b → F ( a ) < F ( b ) 意味著該函數 ( F ( x ) ) 是一個遞增函數，若 a < b → G ( a ) ＞ G ( b ) 意味著該函數 ( G ( a ) ) 是一個遞減函數，
參考來源： IB DP Mathematics: Analysis and Approaches Guide (Section 2.2)
邏輯價值：
這將不等式從單純的「解題」拉升到「函數性質」的討論，讓學生明白負數變號只是遞減函數的一個特例。
法國 (France) - Lycée (高中銜接)
原文指引： "L’inégalité change de sens lorsqu'on applique une fonction décroissante."
中譯： 當應用一個遞減函數時，不等式的方向改變。
特點：
法國教材（如 Hachette 或 Nathan 出版社）通常在國中末期就會利用 F ( x ) ＝ a x 的斜率正負來預告不等式的變號。
