📌 導讀：時間是所有動態系統的共通變數
當一個系統隨時間演化，它的狀態會隨 時間 t 變化。要描述這種「持續變化」：
👉 單純用一個瞬間值 y(t₀) 不夠
👉 必須描述「在 t 這一瞬間它在往哪裡去」這就是微分的概念：描述變化率。
🧠 一、微分方程是時間演化的自然語言
微分方程描述的是：
狀態變化的速率（Rate of change） 與狀態本身以及輸入之間的關係。
數學上常用：
dx/dt = f(x, t)
它告訴我們：
👉 系統現在在哪裡
👉 並且它正往哪裡去
這正是工程師理解動態系統的核心。
🧠 二、微分方程 vs 靜態方程
靜態方程（如 f(x) = 0）只描述：
👉 在某個時間點系統的平衡狀態
但它不描述如何到達那裡。
動態系統最根本的問題是：
📌 你如何從 x(t₀) 移動到 x(t₁)？
而答案必須透過描述連續變化過程的微分方程來獲得。
🧠 三、為什麼「微分」是正確的抽象？
數學上：
任意「平滑時間演化」的函數，可以被其導數完全描述。
知道一個量的導數（變化率），加上初始條件，就能重建整個時間行為。
因此微分方程是一種 最小可描述性 的數學語言：
✔ 它足以描述系統
✔ 卻不冗長
✔ 可用於理論分析、設計與模擬
🧠 四、動態系統都是“連續變化”的系統
實際上很多現象都可以被看成 micro 連續變化：
· 機械系統的速度、位置變化
· 電路中的電壓電流變化
· 溫度、濃度、資金流動等隨時間變化
這些變化在連續時間下都需要連續變化的描述，而微分方程正是最自然的語法。
🧠 五、離散版也類似
不是只有連續時間。離散時間系統也描述為：
xₖ₊₁ = f(xₖ)
它本質上是微分方程的離散等價，表示系統如何從一個時間點遞推到下一個。
🧠 六、工程師為什麼一定要用微分方程？
因為：
📌 它可以分解成線性或非線性形式
📌 可分析穩定性、暫態與穩態
📌 可做模擬（ODE solver）
📌 可結合線性代數（狀態空間）
📌 可與頻域方法（拉普拉斯／傅立葉）對接
換句話說：
👉 它是 含最少假設、含最多描述能力的自然動態語言
🧮 整合型實務數學題
考慮一個簡單動態系統：
dx/dt = −3x + 2u(t)
y = x
其中 u(t) 為外部輸入。
(1) 寫出這個系統的狀態空間方程
(2) 若 u(t) = 0，求一般解
(3) 若初始條件 x(0) = 1，求 x(t) 的具體表達式
(4) 解釋為什麼用微分方程來描述它是合理的
解析：
(1) 狀態空間形式
dx/dt = −3x + 2u(t)
y = x
這已經是狀態空間（動態方程 + 觀測方程）。
引入向量形式（若多變量）也同理。
(2) 無輸入系統解法
當 u(t) = 0：
dx/dt = −3x
這是一階線性常微分方程。
解為：
x(t) = C e^(−3t)
(3) 含初始條件的解
給定 x(0) = 1：
x(t) = e^(−3t)
(4) 工程直覺解釋
這個方程描述的是：
👉 每一時刻的變化率（dx/dt）如何依賴於當前狀態 x 與輸入 u
而不是只描述某個位於某一時刻的值。因此：
✔ 它能描述系統隨時間的完整演化
✔ 可做穩定性分析
✔ 可模擬瞬態與迴響行為
也正因為所有實際動態系統 本質都是變化而不是靜止，
所以用微分方程來刻畫它 既簡潔又完備。
🔑 本單元一句話收斂
📌 動態系統 = 狀態隨時間變化，而微分方程是描述變化最自然、最完備的語言。
