上古漢語的邏輯結構 034

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動

三

1755年，歐拉改變了主意，在《微分學原理》(Institutiones calculi differentiales) 一書中，提出一個新的定義﹕

• (F_E2) 但是，假如有某些量以如下的一種方式因應其他某些量 —— 如果後者有變，前者亦變 —— 那麼，前者的量稱為後者的量的涵數。這是一個非常全面的概念，本身即包括一量被他量決定的所有模式。因此，假如 x 指稱一個變元量，所有不論如何因應 x 的量，或所有由 x 決定的量，皆稱為 x 的函數。[同上: 72-73]

為什麼歐拉要改變他對涵數的定義﹖

當時數學及物理學界發生了一個爭議，關於弦線振動的計算，稱為「振動弦論爭」，涉及如下的一個問題﹕有一彈性弦線，兩端 (譬如 0 和 l) 固定，將其變形至某初始形狀，繼而釋放並造成振動﹔問題在於決定描述弦線在時間 t 時的形狀的函數。[Kleiner 1989: 4]

1.2.5_6 振動弦

這個問題其實主要涉及兩個基本議題﹕一為函數的意義，二為代數的作用。

在我們描繪的歷史中，從初現輪廓一直到公元十八世紀上半葉，函數概念經歷著一個從幾何到代數的表述過程。開始的時候，數學工作者借用比較具體的幾何心理圖像來理解函數概念。事實上，在函數概念還沒有被完全辨認出來之前，於公元十七世紀引入的函數大都當作曲線研究。在追求嚴謹和普遍的過程中，函數概念逐步脫離幾何的物理框架，其中的一個原因是數學工作者越來越傾向於代數的表述形式。

當時的數學工作者似乎認為代數語言最為嚴謹，而代數原理普遍適用於較大部份的數學領域。

歐拉的1748年定義 (一個變元量的涵數為一個分析式) 可說是這個數學態度的一個頂峰。

這個時期的函數大概都屬於代數函數﹔但法國數學家奧古斯丁‧路易‧柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 批評了這個數學態度，並稱這個數學態度為「代數一般化」。代數一般化引出一個後果，成為當時數學工作者的一個信條﹕如果兩個分析式在某區間為一致，它們各處皆為一致。換句話說，這個信條認為由一個分析式給定的一條曲線中的任一微小部份決定了它的整條走勢。更重要的是，它同時假設了一個分析式的自變元無限制地涵蓋整個實數域。[同上] 這樣的一個陳述相當令人 (現代數學工作者) 費解，但當時的數學工作者卻深信不疑，包括歐拉。有趣的是，早在1744年，歐拉在與普魯士數學家克里斯蒂安‧哥德巴赫 (Christian Goldbach) 通信時便提出了

等式，卻沒有提及僅當 0＜x＜2л 才有效。更有趣的是，於區間 (0, 2л) 為一致而餘皆非一致時，可以有兩個分析式。[同上; Youschkevitch 1976: 67]

由此可見上述信條的根深蒂固。

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待續