上古漢語的邏輯結構 044

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動
• 1.2.6 熱的傳導
• 1.2.7 十九世紀的尾聲

三

必須說一下波希米亞數學家/邏輯學家/哲學家/神學家/天主教神父伯恩哈德‧波爾查諾 (Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano)，他的數學研究得出很多結果，時人沒有留意，後來才被再發現。他的哲學，教會討厭﹔他的數學，數學界忽略。當時的歐洲數學界，重頭人物多在法國﹑瑞士和德國，或許因此便對其他國家的數學成就不太重視，縱使波爾查諾用德語寫作。比如波爾查諾的微積分/分析算術化，極限﹑導數﹑連續性及收斂性定義的算術化都與柯西在同一領域上的算術化很相似，但時人只識柯西的結果，不知有波爾查諾的結果。[Boyer 1968: 544-570]

公元1817年，波爾查諾出版了《純粹分析證明》(Rein analytischer Beweis)，書中用了純粹算術證明來證明代數中的勘根定理，換句話說，他用非幾何方法計算曲線或函數的連續性。

公元1850年，在他去世後出版的《無窮大悖論》(Paradoxien des Unendlichen) 便提出了關於無窮集的若干重要屬性。當波爾查諾的同期數學家如法國的柯西和德國的高斯彷彿患有無窮大恐懼症時，波爾查諾沿著伽利略關於整數和平方數一一對應 (雙射) 的「悖論」思路，展示出這種對應關係存在於很多無窮集和它的真子集 (當然也必須是個無窮集) 之間，相當普遍。

比如 0 與 1 之間的實數 (real number) 和 0 與 2 之間的實數便同樣多。

關於集與集之間的對應關係，波爾查諾對集論的創始人康托爾 (Georg Cantor) 影嚮不少﹔對我們來說，他有關對應 (correspondence) 的研究更重要，因為他在這方面的洞察力提供了理解函數或表述函數的一個新方法。

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待續