各位「從生活中看數學」讀者好，感謝這一年來大家的支持與閱讀。由於文章撰寫時間耗時較多，長文主要在暑假更新為主，所以未來除了文章撰寫之外，會以影音呈現數學的觀念，每個禮拜會定時更新。
我的Youtube頻道：
https://www.youtube.com/channel/UCnJW-b2uW
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本篇文章從將延續上文脈絡，從上文探討的座標、割線定義，接續探討連續函數的切線，說明割線與切線之間的關係。並銜接之後對微分幾何意義總結所做的文章。
（四）連續函數的切線
有了割線的觀念後，切線的觀念就十分容易理解了。想像函數圖形上有相異兩點(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，經由
本篇文章從將延續上文脈絡，從上文探討的座標、割線定義，接續探討連續函數的切線，說明割線與切線之間的關係。並銜接之後對微分幾何意義總結所做的文章。
（四）連續函數的切線
有了割線的觀念後，切線的觀念就十分容易理解了。想像函數圖形上有相異兩點(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，經由
數學是一門嚴謹的語言，數學家們在公理和定義的基礎上，發掘並證明一個又一個的定理；數學證明的過程，好比偵探辦案一樣。偵探要有比常人好的推理能力和語言能力，語言能力須超出常人，才能透過用字遣詞、其他學科的背景知識發覺字裡行間所隱藏的象徵與意義，最後找出真相。本篇文章延續上篇介紹的公理與定義，說明數
數學是一門嚴謹的語言，數學家們在公理和定義的基礎上，發掘並證明一個又一個的定理；數學證明的過程，好比偵探辦案一樣。偵探要有比常人好的推理能力和語言能力，語言能力須超出常人，才能透過用字遣詞、其他學科的背景知識發覺字裡行間所隱藏的象徵與意義，最後找出真相。本篇文章延續上篇介紹的公理與定義，說明數
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋，這篇文章則將用幾何角度來了解函數微分。上文已引入代數和幾何的觀念；概略介紹函數的圖形定義；本篇文章則從字源學引入割線的概念，若未讀過上篇的讀者，可按此連結上篇。
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋，這篇文章則將用幾何角度來了解函數微分。上文已引入代數和幾何的觀念；概略介紹函數的圖形定義；本篇文章則從字源學引入割線的概念，若未讀過上篇的讀者，可按此連結上篇。
數學和人類溝通使用的語言十分相似，但卻常受人忽視。因為過度重視考試的解題技巧與速度，人們學了許久數學，不見得都能洞察數學和語文的相似性。但是，本篇文章將介紹讀者，數學可以視為世界上最精準的語言，這篇文章同時分享閱讀數學專業書籍時，如何抱著學習語言的心學習數學。這篇文章以輕鬆的方式讓讀者看見數學的
數學和人類溝通使用的語言十分相似，但卻常受人忽視。因為過度重視考試的解題技巧與速度，人們學了許久數學，不見得都能洞察數學和語文的相似性。但是，本篇文章將介紹讀者，數學可以視為世界上最精準的語言，這篇文章同時分享閱讀數學專業書籍時，如何抱著學習語言的心學習數學。這篇文章以輕鬆的方式讓讀者看見數學的
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋。這一系列主題文章「函數微分的幾何意義」將分多集探討，用幾何角度來了解函數微分。本文章第一集將先引入代數和幾何的觀念；在概略介紹函數的圖形定義。
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋。這一系列主題文章「函數微分的幾何意義」將分多集探討，用幾何角度來了解函數微分。本文章第一集將先引入代數和幾何的觀念；在概略介紹函數的圖形定義。
上篇先以電影橋段開頭，說明專有名詞的產生原因，與下篇則聚焦於生物和數學中專有名詞的功用，並說明如何教育專有名詞和嚴格的定義，以及錯誤教育方式可能導致的不良結果。
在這篇文章中，將聚焦於數學和生物的專有名詞與定義的功用。最後小結將探討我對於專有名詞、定義、科學素養的教育看法。
上篇先以電影橋段開頭，說明專有名詞的產生原因，與下篇則聚焦於生物和數學中專有名詞的功用，並說明如何教育專有名詞和嚴格的定義，以及錯誤教育方式可能導致的不良結果。
在這篇文章中，將聚焦於數學和生物的專有名詞與定義的功用。最後小結將探討我對於專有名詞、定義、科學素養的教育看法。
這篇文章中將延續上文脈絡，先回顧某一定值的導數和可微分的定義，讓讀者發現x=n時的導數與某個給定的定值n已經形成函數關係；接著透過同一個人的不同裝扮與不同稱呼，來說明數學變換符號的意義。第三段將導數的符號作變換，表示導函數的概念與定義，最後總結導函數即是微分，以及重新回顧微分的意義。
這篇文章中將延續上文脈絡，先回顧某一定值的導數和可微分的定義，讓讀者發現x=n時的導數與某個給定的定值n已經形成函數關係；接著透過同一個人的不同裝扮與不同稱呼，來說明數學變換符號的意義。第三段將導數的符號作變換，表示導函數的概念與定義，最後總結導函數即是微分，以及重新回顧微分的意義。
上篇文章介紹物理學家如何定義瞬時速度，本篇文章將延續上回文章脈絡，帶領讀者從回顧瞬時速度的由來，一般化瞬時速度的定義，最後引入導數和可微分的的定義，說明導數、瞬間變化率、可微分，牽涉到同一極限的觀念，讓讀者由現實世界逐步走入抽象世界。
上篇文章介紹物理學家如何定義瞬時速度，本篇文章將延續上回文章脈絡，帶領讀者從回顧瞬時速度的由來，一般化瞬時速度的定義，最後引入導數和可微分的的定義，說明導數、瞬間變化率、可微分，牽涉到同一極限的觀念，讓讀者由現實世界逐步走入抽象世界。
本篇文章延續先前主軸，且分上、下兩篇。上篇將主旨聚焦於單一例子：「瞬時速度」，透過討論貓咪奔跑之實例，複習並計算平均速度之定義，在說明瞬時速度的觀念，最後進一步鋪成下篇的抽象微分概念。
本篇文章延續先前主軸，且分上、下兩篇。上篇將主旨聚焦於單一例子：「瞬時速度」，透過討論貓咪奔跑之實例，複習並計算平均速度之定義，在說明瞬時速度的觀念，最後進一步鋪成下篇的抽象微分概念。
在前幾篇文章中，透過許多生活例子，如：經過幾分後，計算火鍋湯溫度對時間的平均變化率；又或者計算植物的平均生長速度，讓讀者了解，斜率是由兩個變量相除計算而來，對於「斜率」有深刻了解。此篇文章則將帶領讀者，由生活中的時間間隔，進一步思考「瞬時」與「平均」變化率之間的差異。
在前幾篇文章中，透過許多生活例子，如：經過幾分後，計算火鍋湯溫度對時間的平均變化率；又或者計算植物的平均生長速度，讓讀者了解，斜率是由兩個變量相除計算而來，對於「斜率」有深刻了解。此篇文章則將帶領讀者，由生活中的時間間隔，進一步思考「瞬時」與「平均」變化率之間的差異。
你曾有燒開水或煮火鍋的經驗嗎？如果將開水或湯的溫度，過一段時間後，測量兩次後畫在紙上，就可以計算兩點間的斜率，本文將從燒開水的生活經驗切入，探討上篇中沒有探討的遞增型斜率，並總結正、負斜率的幾何意義，
你曾有燒開水或煮火鍋的經驗嗎？如果將開水或湯的溫度，過一段時間後，測量兩次後畫在紙上，就可以計算兩點間的斜率，本文將從燒開水的生活經驗切入，探討上篇中沒有探討的遞增型斜率，並總結正、負斜率的幾何意義，
在上文透過探討生活中變化率，延伸到數學中兩點斜率公式。本文將以另一個角度切入，分上、下兩篇詮釋數學斜率的幾何意義，上篇將從日常生活中的斜坡與剖面圖，引入直線、斜率，直角座標平面，從圖形解釋兩點斜率的基本幾何意義。
在上文透過探討生活中變化率，延伸到數學中兩點斜率公式。本文將以另一個角度切入，分上、下兩篇詮釋數學斜率的幾何意義，上篇將從日常生活中的斜坡與剖面圖，引入直線、斜率，直角座標平面，從圖形解釋兩點斜率的基本幾何意義。
這是微積分科普系列文章的第四篇，在討論微分律之前，讀者需先認識斜率的定義，並能區分平均與瞬時變化率的差異。因為微分律由導數推衍而來，而導數即是求函數圖形上，某一點的切線斜率。本文從生活中的變化講起，提出變化率的計算方式，與數學中斜率的定義。
這是微積分科普系列文章的第四篇，在討論微分律之前，讀者需先認識斜率的定義，並能區分平均與瞬時變化率的差異。因為微分律由導數推衍而來，而導數即是求函數圖形上，某一點的切線斜率。本文從生活中的變化講起，提出變化率的計算方式，與數學中斜率的定義。
這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」
這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」
這是微積分科普系列文章的第二篇，本文將以生活情境向你解釋「靠近」的概念，了解趨近的含義後，再說明如何用數學語言表示極限，並讓讀者透過直覺的函數圖形和計算，了解函數極限的意義，最後引導讀者思考、提出質疑，更加嚴格的函數極限定義，應符合哪些要求。
這是微積分科普系列文章的第二篇，本文將以生活情境向你解釋「靠近」的概念，了解趨近的含義後，再說明如何用數學語言表示極限，並讓讀者透過直覺的函數圖形和計算，了解函數極限的意義，最後引導讀者思考、提出質疑，更加嚴格的函數極限定義，應符合哪些要求。
這是微積分科普系列：「從生活認識微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數的概念，透過「長相」與「稱呼」，「商品」與「價格」、「原料」與「產品」帶你了解函數、定義域、值域的定義，並了解函數的數學標示方法，即使沒有學過函數概念的人也能讀懂。
這是微積分科普系列：「從生活認識微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數的概念，透過「長相」與「稱呼」，「商品」與「價格」、「原料」與「產品」帶你了解函數、定義域、值域的定義，並了解函數的數學標示方法，即使沒有學過函數概念的人也能讀懂。
「怎麼學好數學？」可能是許多家長關心的問題，而「為什麼要學數學？」則是許多同學們的疑惑。「數學」在很多人心中就像一個大魔王，好像遇到他就束手無策，只能等著挨打。這系列文章希望以輕鬆的口吻，來回答上述學生、家長的常見問題，並給予一些建議。
「怎麼學好數學？」可能是許多家長關心的問題，而「為什麼要學數學？」則是許多同學們的疑惑。「數學」在很多人心中就像一個大魔王，好像遇到他就束手無策，只能等著挨打。這系列文章希望以輕鬆的口吻，來回答上述學生、家長的常見問題，並給予一些建議。
各位「從生活中看數學」讀者好，感謝這一年來大家的支持與閱讀。由於文章撰寫時間耗時較多，長文主要在暑假更新為主，所以未來除了文章撰寫之外，會以影音呈現數學的觀念，每個禮拜會定時更新。
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（四）連續函數的切線
有了割線的觀念後，切線的觀念就十分容易理解了。想像函數圖形上有相異兩點(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，經由
本篇文章從將延續上文脈絡，從上文探討的座標、割線定義，接續探討連續函數的切線，說明割線與切線之間的關係。並銜接之後對微分幾何意義總結所做的文章。
（四）連續函數的切線
有了割線的觀念後，切線的觀念就十分容易理解了。想像函數圖形上有相異兩點(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，經由
數學是一門嚴謹的語言，數學家們在公理和定義的基礎上，發掘並證明一個又一個的定理；數學證明的過程，好比偵探辦案一樣。偵探要有比常人好的推理能力和語言能力，語言能力須超出常人，才能透過用字遣詞、其他學科的背景知識發覺字裡行間所隱藏的象徵與意義，最後找出真相。本篇文章延續上篇介紹的公理與定義，說明數
數學是一門嚴謹的語言，數學家們在公理和定義的基礎上，發掘並證明一個又一個的定理；數學證明的過程，好比偵探辦案一樣。偵探要有比常人好的推理能力和語言能力，語言能力須超出常人，才能透過用字遣詞、其他學科的背景知識發覺字裡行間所隱藏的象徵與意義，最後找出真相。本篇文章延續上篇介紹的公理與定義，說明數
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋，這篇文章則將用幾何角度來了解函數微分。上文已引入代數和幾何的觀念；概略介紹函數的圖形定義；本篇文章則從字源學引入割線的概念，若未讀過上篇的讀者，可按此連結上篇。
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋，這篇文章則將用幾何角度來了解函數微分。上文已引入代數和幾何的觀念；概略介紹函數的圖形定義；本篇文章則從字源學引入割線的概念，若未讀過上篇的讀者，可按此連結上篇。
數學和人類溝通使用的語言十分相似，但卻常受人忽視。因為過度重視考試的解題技巧與速度，人們學了許久數學，不見得都能洞察數學和語文的相似性。但是，本篇文章將介紹讀者，數學可以視為世界上最精準的語言，這篇文章同時分享閱讀數學專業書籍時，如何抱著學習語言的心學習數學。這篇文章以輕鬆的方式讓讀者看見數學的
數學和人類溝通使用的語言十分相似，但卻常受人忽視。因為過度重視考試的解題技巧與速度，人們學了許久數學，不見得都能洞察數學和語文的相似性。但是，本篇文章將介紹讀者，數學可以視為世界上最精準的語言，這篇文章同時分享閱讀數學專業書籍時，如何抱著學習語言的心學習數學。這篇文章以輕鬆的方式讓讀者看見數學的
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋。這一系列主題文章「函數微分的幾何意義」將分多集探討，用幾何角度來了解函數微分。本文章第一集將先引入代數和幾何的觀念；在概略介紹函數的圖形定義。
至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋。這一系列主題文章「函數微分的幾何意義」將分多集探討，用幾何角度來了解函數微分。本文章第一集將先引入代數和幾何的觀念；在概略介紹函數的圖形定義。
上篇先以電影橋段開頭，說明專有名詞的產生原因，與下篇則聚焦於生物和數學中專有名詞的功用，並說明如何教育專有名詞和嚴格的定義，以及錯誤教育方式可能導致的不良結果。
在這篇文章中，將聚焦於數學和生物的專有名詞與定義的功用。最後小結將探討我對於專有名詞、定義、科學素養的教育看法。
上篇先以電影橋段開頭，說明專有名詞的產生原因，與下篇則聚焦於生物和數學中專有名詞的功用，並說明如何教育專有名詞和嚴格的定義，以及錯誤教育方式可能導致的不良結果。
在這篇文章中，將聚焦於數學和生物的專有名詞與定義的功用。最後小結將探討我對於專有名詞、定義、科學素養的教育看法。
這篇文章中將延續上文脈絡，先回顧某一定值的導數和可微分的定義，讓讀者發現x=n時的導數與某個給定的定值n已經形成函數關係；接著透過同一個人的不同裝扮與不同稱呼，來說明數學變換符號的意義。第三段將導數的符號作變換，表示導函數的概念與定義，最後總結導函數即是微分，以及重新回顧微分的意義。
這篇文章中將延續上文脈絡，先回顧某一定值的導數和可微分的定義，讓讀者發現x=n時的導數與某個給定的定值n已經形成函數關係；接著透過同一個人的不同裝扮與不同稱呼，來說明數學變換符號的意義。第三段將導數的符號作變換，表示導函數的概念與定義，最後總結導函數即是微分，以及重新回顧微分的意義。
上篇文章介紹物理學家如何定義瞬時速度，本篇文章將延續上回文章脈絡，帶領讀者從回顧瞬時速度的由來，一般化瞬時速度的定義，最後引入導數和可微分的的定義，說明導數、瞬間變化率、可微分，牽涉到同一極限的觀念，讓讀者由現實世界逐步走入抽象世界。
上篇文章介紹物理學家如何定義瞬時速度，本篇文章將延續上回文章脈絡，帶領讀者從回顧瞬時速度的由來，一般化瞬時速度的定義，最後引入導數和可微分的的定義，說明導數、瞬間變化率、可微分，牽涉到同一極限的觀念，讓讀者由現實世界逐步走入抽象世界。
本篇文章延續先前主軸，且分上、下兩篇。上篇將主旨聚焦於單一例子：「瞬時速度」，透過討論貓咪奔跑之實例，複習並計算平均速度之定義，在說明瞬時速度的觀念，最後進一步鋪成下篇的抽象微分概念。
本篇文章延續先前主軸，且分上、下兩篇。上篇將主旨聚焦於單一例子：「瞬時速度」，透過討論貓咪奔跑之實例，複習並計算平均速度之定義，在說明瞬時速度的觀念，最後進一步鋪成下篇的抽象微分概念。
在前幾篇文章中，透過許多生活例子，如：經過幾分後，計算火鍋湯溫度對時間的平均變化率；又或者計算植物的平均生長速度，讓讀者了解，斜率是由兩個變量相除計算而來，對於「斜率」有深刻了解。此篇文章則將帶領讀者，由生活中的時間間隔，進一步思考「瞬時」與「平均」變化率之間的差異。
在前幾篇文章中，透過許多生活例子，如：經過幾分後，計算火鍋湯溫度對時間的平均變化率；又或者計算植物的平均生長速度，讓讀者了解，斜率是由兩個變量相除計算而來，對於「斜率」有深刻了解。此篇文章則將帶領讀者，由生活中的時間間隔，進一步思考「瞬時」與「平均」變化率之間的差異。
你曾有燒開水或煮火鍋的經驗嗎？如果將開水或湯的溫度，過一段時間後，測量兩次後畫在紙上，就可以計算兩點間的斜率，本文將從燒開水的生活經驗切入，探討上篇中沒有探討的遞增型斜率，並總結正、負斜率的幾何意義，
你曾有燒開水或煮火鍋的經驗嗎？如果將開水或湯的溫度，過一段時間後，測量兩次後畫在紙上，就可以計算兩點間的斜率，本文將從燒開水的生活經驗切入，探討上篇中沒有探討的遞增型斜率，並總結正、負斜率的幾何意義，
在上文透過探討生活中變化率，延伸到數學中兩點斜率公式。本文將以另一個角度切入，分上、下兩篇詮釋數學斜率的幾何意義，上篇將從日常生活中的斜坡與剖面圖，引入直線、斜率，直角座標平面，從圖形解釋兩點斜率的基本幾何意義。
在上文透過探討生活中變化率，延伸到數學中兩點斜率公式。本文將以另一個角度切入，分上、下兩篇詮釋數學斜率的幾何意義，上篇將從日常生活中的斜坡與剖面圖，引入直線、斜率，直角座標平面，從圖形解釋兩點斜率的基本幾何意義。
這是微積分科普系列文章的第四篇，在討論微分律之前，讀者需先認識斜率的定義，並能區分平均與瞬時變化率的差異。因為微分律由導數推衍而來，而導數即是求函數圖形上，某一點的切線斜率。本文從生活中的變化講起，提出變化率的計算方式，與數學中斜率的定義。
這是微積分科普系列文章的第四篇，在討論微分律之前，讀者需先認識斜率的定義，並能區分平均與瞬時變化率的差異。因為微分律由導數推衍而來，而導數即是求函數圖形上，某一點的切線斜率。本文從生活中的變化講起，提出變化率的計算方式，與數學中斜率的定義。
這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」
這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」
這是微積分科普系列文章的第二篇，本文將以生活情境向你解釋「靠近」的概念，了解趨近的含義後，再說明如何用數學語言表示極限，並讓讀者透過直覺的函數圖形和計算，了解函數極限的意義，最後引導讀者思考、提出質疑，更加嚴格的函數極限定義，應符合哪些要求。
這是微積分科普系列文章的第二篇，本文將以生活情境向你解釋「靠近」的概念，了解趨近的含義後，再說明如何用數學語言表示極限，並讓讀者透過直覺的函數圖形和計算，了解函數極限的意義，最後引導讀者思考、提出質疑，更加嚴格的函數極限定義，應符合哪些要求。
這是微積分科普系列：「從生活認識微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數的概念，透過「長相」與「稱呼」，「商品」與「價格」、「原料」與「產品」帶你了解函數、定義域、值域的定義，並了解函數的數學標示方法，即使沒有學過函數概念的人也能讀懂。
這是微積分科普系列：「從生活認識微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數的概念，透過「長相」與「稱呼」，「商品」與「價格」、「原料」與「產品」帶你了解函數、定義域、值域的定義，並了解函數的數學標示方法，即使沒有學過函數概念的人也能讀懂。
「怎麼學好數學？」可能是許多家長關心的問題，而「為什麼要學數學？」則是許多同學們的疑惑。「數學」在很多人心中就像一個大魔王，好像遇到他就束手無策，只能等著挨打。這系列文章希望以輕鬆的口吻，來回答上述學生、家長的常見問題，並給予一些建議。
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