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數學和語言（1）：公理和定義

　　數學和人類溝通使用的語言十分相似，但卻常受人忽視。因為過度重視考試的解題技巧與速度，人們學了許久數學，不見得都能洞察數學和語文的相似性。但是，本篇文章將介紹讀者，數學可以視為世界上最精準的語言，這篇文章同時分享閱讀數學專業書籍時，如何抱著學習語言的心學習數學。這篇文章以輕鬆的方式讓讀者看見數學的另一面貌。

　　數學中有許多細分領域，而每一門細分領域的當中，公理和定義均不會提供證明，公理可以看為這門數學領域開始的根本起源，公理在一切定理之前就存在，所以數學家不對公理證明，如歐幾里德在幾何原本中討論定理前，就先寫了許多公理，除了較難理解的第五公理外，歐幾里德提出的公理大多基於現實中的觀察，符合直覺，例如：任意線段可以無限延伸後成為一條直線、所有直角都相等、從一點到另一點可畫一條直線，歐幾里德所假設的公理集合起來，就形成了歐幾里德幾何學。每個數學領域的公理不盡相同，但無論哪個數學領域，數學家都遵守某樣「公理」，需要先假設並承認某些真理（公理），才可以在這些公理的基礎下，進一步對這門數學領域的理論進行研究。

　　數學中的定義則通常會提出一個具體名詞、符號，並充分說明這個名詞和符號的具體意思。例如線性代數在一開始就先定義什麼是「向量空間」（Vector space），而空間的定義又與「體」（Field）和「集合」（Set）的定義有關。又或者數學家定義對一函數y=f(x)求導函數的過程就稱為「微分」等等。

　　數學中的定義和公理可以這樣比喻。公理和定義都是數學家溝通的基礎，如上所述，公理是一門數學領域的起點和根基，公理也會限制之後這門領域所探討的內容，所以黎曼幾何學和歐幾里德幾何學，雖然都是數學中的幾何學，但卻因為一開始提出的公理不同，而形成兩門學問。黎曼幾何學系統適合時空相對論使用，而歐幾里德的幾何學系統，則跟日常所看到的平面幾何形狀之經驗相符。

　　公理除了可以看成根基或這門領域的地基，有時也向限制住溶液流動的容器，如上段舉例描述，不同的公理集合起來形成的公理系統，會限制在這個系統內所能討論的內容。而容器內所裝的水或溶液，則像是數學家透過基本的定義和公理，來推導的定理或未確定的命題。若以語言來做比擬，就像是一群人溝通時所內心共同擁有的話題或是共識，有共識和相同話題的人，才能談判、溝通，若沒有話題和共識的兩個人，就可能雞同鴨講，各說各話，因為兩人不是在討論同樣的話題，又或者兩人缺乏同樣的共識。

　　而數學中對詞彙、符號、操作等的詳細定義，像是一本數學家共同承認、使用的字典，同樣的用語言來做比擬，兩人對於詞彙的定義需要相同，才不會誤會彼此。例如：日文和中國地區矩陣中橫排數字為「行」，直排數字為「列」；但台灣地區的中文卻以橫排數字為「列」，直排數字為「行」，雖然寫成漢字都是同樣的字詞：「行」、「列」，可是定義顛倒，兩方就無法溝通，還會互相誤會。

　　總結來說，「公理」像是討論前人們所需具有的共識，沒有共識或互不同意對方對於某些真理前提的假設，兩人就不可能會相談甚歡，最終談話必定破裂；而定義則像是兩人需使用相同的詞彙定義，使用一本標準化的辭典，兩者都是為了消除誤會，並促進討論，這就是數學家重視定義和公理的原因。