從生活認識微積分（十四）：函數微分的幾何意義(3)

　　 有了割線的觀念後，切線的觀念就十分容易理解了。想像函數圖形上有相異兩點(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，經由上篇文章介紹，我們得知這兩點會形成一條割線，橫切函數圖形。現在若要求連續函數某一定點上的定點Ａ（x1,f(x1)）之切線，要如何尋找這條切線呢？答案是透過割線逼近來尋找切線。

　　具體的作法如下，我們可以先找另外一個相異於Ａ的點Ｂ（x2, f(x2)），根據上篇文章的定義，我們知道ＡＢ是一條割線。實際上，當另一點Ｂ越來越靠近Ａ時，就會越接近Ａ點的切線。由於這個敘述不夠明確，我們可以將這個不清楚的幾何敘述，轉回成代數極限的概念，以便讓敘述更加清晰。

　　 轉換回代數的第一步驟，同樣是先考慮直線斜率的表達方式。根據斜率定義，要找ＡＢ兩點形成直線的斜率，就是(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，是先前一再探討的概念：

　　我們得知當Ｂ點越來越靠近Ａ時，無論從左或又，ＡＢ所形成之割線若能越來越逼近一條通過Ａ點的線，這一條通過Ａ點的線就是過Ａ的切線。這是我們一開始所提出逼近（趨近）的觀念，不妨用圖形表示如下：

　　以上函數圖形是以下多項式函數圖形為例。

　　以上的觀念也代表，隨著Ｂ點靠近Ａ點，ＡＢ割線的斜率會越來越接近Ａ點切線。這是高中的直線觀念，要確認兩條直線相等，要確認直線的斜率（代表方向、變化率）相等，且通過同一點。此時可以再更近一步論述，其實數學中切線的定義是當Ｂ趨近於Ａ點時，ＡＢ割線會趨近於一條通過Ａ的線，這條線即為過Ａ點的切線，撇除垂直沒有斜率的情況，若割線和切線的斜率皆存在，以上的論述也可以修改如下：因為Ｂ趨近於Ａ點，又ＡＢ兩點皆在函數f上，分別為Ａ（x1, f(x1)）Ｂ(x2, f(x2))，故Ｂ趨近於Ａ點可改說x2趨近於x1，則此時若ＡＢ割線斜率的極限若存在，就是切線斜率m。　　

　　下文將說明割線、切線斜率如何與先前的觀念連結。

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