在前篇文章中，本文透過各種生活中的實例來幫助讀者建立「瞬間變化率」(instantaneous rate of change)的觀念，不論是在生活中小孩的成長變化率，又或者物理和化學家計算物體的速度與反應速率，若將觀察人、物體的時間間隔不斷縮小再縮小，壓縮到趨近於0時，所記錄的數據經過計算後就能得到「瞬間變化率」。
本篇文章延續先前主軸，且分上、下兩篇。上篇將主旨聚焦於單一例子：「瞬時速度」，透過討論貓咪奔跑之實例，複習並計算平均速度之定義，在說明瞬時速度的觀念，最後進一步鋪成下篇的抽象微分概念。
一、從生活實例中思考瞬時速度
不論是大馬路上的車子呼嘯而過，又或者獅子穿越大草原狩獵，貓咪快速飛奔，等文字敘述都難以量化物體移動的程度，因此物理學家定義物體「位置對時間的變化率」為平均速度，讓物體移動的程度變成可算的數。
平均速度＝位置變化/時間變化
本文以用錄影機和電腦感應器，觀察並計算的一隻貓在直線跑道上的移動距離為例，為求方便，定義開始觀察的時間為「0」，單位可設為「秒」，若給定以下表格資訊（見下文），要如何定義第3秒時，位移對時間的瞬間變化率，或稱為第3秒貓咪的瞬時速度呢？
時間 位置(單位：s) （單位：m）
0.00 4.23
1.00 8.33
2.00 10.24
2.90 15.20
3.00 15.44
3.10 15.70
4.00 17.35
求瞬時速度前，需先回想平均變化率的定義，比如求0到3秒的平均速度，只要計算：
平均速度 ＝ 改變位置 / 改變時間 = 末位置-初位置 / 末時間-初時間
0至3秒平均速度=3秒位置-0秒位置/3秒-0秒
= (15.44-4.23)/3 = 3.736 (m/s)
但我們關心的是瞬時速度，而非平均速度，所以應將兩次觀察的時間間隔縮短，又本題要求第三秒的瞬時速度，故需將另一次觀察時間與第三秒間隔縮短。從0秒到3秒，變為2秒到3秒，終至計算2.90秒到3秒之平均速度，和3.1秒至3秒之平均速度，如此一來，時間間隔就從間隔3秒變為間隔0.1秒了：
2至3秒平均速度=3秒位置-2秒位置/3秒-2秒
=15.44-10.24/1=5.2 (m/s)
3至4秒平均速度=4秒位置-3秒位置/4秒-3秒
=17.35-15.44/1=1.91 (m/s)
2.9至3秒平均速度=3秒位置-2.9秒位置/3秒-2.9秒
=15.44-15.20/0.1=2.4(m/s)
3至3.1秒平均速度=3.1秒位置-3秒位置/3.1秒-3秒
=15.70-15.44/0.1=2.6(m/s)
經過以上計算，分別得到「（3秒前一秒）2到3秒」和「3秒至4秒(後一秒)」內的平均速度，此時的平均速度，尚離瞬時速度有點距離，而當計算2.9秒至3秒的平均速度：2.4(m/s)或是3至3.1秒的平均速度：2.6 (m/s)時，就已可作為3秒瞬時速度的不錯估算值了，所以我們可估計瞬時速度為兩者平均值：2.5(m/s)。
二、瞬時速度的定義
然真正的第3秒瞬時速度，根據物理學家定義：「若要求某物體在a時的瞬時速度需有兩次觀察物體位置。應將另一次觀察之時間與a時的間隔縮至趨近於0，或說，讓另一次觀察時間，趨近於a時，用此條件求得的平均速度之極限，就是平均速度的極限，或稱瞬時速度。」故3至3.1秒的平均速度仍不夠資格稱之為第三秒的瞬時速度。讀者可想像，由於兩次觀察間隔壓縮至極致趨近於0，根據數學定義，間隔時間與0要十分靠近，彼此距離小於任意正數，卻仍不等於0，但3與3.1秒仍隔了0.1秒。
換個角度看，另一次觀察的時間，因與第3秒的間隔十分短暫，如一眨眼間，所以理應非常靠近第3秒，或稱趨近於第3秒。此時讀者可想像計算2.999秒至3秒的平均速度，或是3.001秒至3秒的平均速度，就十分趨近於3秒的瞬時速度了，但須永遠記住，2.999、3.001秒仍與3秒差了0.001秒的距離，雖然兩者很靠近，但仍不是數學中趨近的定義。因此在靠近於3秒所做的任何觀察，皆非瞬時速度，只是逼近瞬時速度而已。因真正的瞬時速度要用先前介紹「趨近」的觀念，需用數學極限計算。
三、瞬時速度的本質是函數的極限
在此將上述文字敘述用數學式表達，已知當在第n秒觀察一隻貓咪時，永遠只對應到一個唯一位置，因此貓咪位置是時間的函數，令此函數稱f，且令自變數為時間，稱第x秒，應變數f(x)則表示位置（單位：m）。
因此第三秒的瞬時速度可以用函數極限表示並計算為：
這個數學式表示，當自變數時間x趨近於3，求f(x)-f(3)除以x-3之極限。f(x)-f(3)除以x-3是，貓咪位置變化量f(x)-f(3)除以時間變化量x-3，也就是x和3秒間的貓咪平均速度
其中第x秒是另一次觀察貓咪的時間，當x秒趨近於第3秒，求x至3秒間的平均速度之極限，稱為平均速度之極限是因f(x)表示貓咪在x秒時的位置，同理，f(3)表示貓在第3秒距離，而分母的x表示第x秒，3表示第3秒，因此這個數學式子的物理意義相當於：貓咪位置變化量f(x)-f(3)除以時間變化量x-3之極限，也就是x和3秒間的貓咪平均速度的極限，根據物理學家定義，這才是真正第三秒的瞬時速度。
四、小結：生活實例只是數學規則的倒影
本文用「縮短觀察時間間隔」來說明「瞬間變化率」，只是單一的生活實例，數學家想要追求的卻是一切現實現象背後，所隱藏的一種通用、精準、且清晰明瞭的規則與真理，這些生活實例，用文學來比喻：數學規則在物質世界的倒影，並不能算是真正的實體，就如我們不會認為鏡子裡反射的人、事、物是真實的一樣，因此不能單單了解這些實例，而是從這些實例出發，找出一條式子或一個定理，或一樣理論。數學家以現實現象為出發點，能定義出「微分」涵蓋所有「瞬間變化率」的計算。故在下篇文章中，我們就能掌握數學中「微分」的抽象定義。
