從生活認識微積分（九）什麼是「微分」（上）

更新於 2019/07/01發佈於 2019/06/30閱讀時間約 6 分鐘

在前篇文章中，本文透過各種生活中的實例來幫助讀者建立「瞬間變化率」(instantaneous rate of change)的觀念，不論是在生活中小孩的成長變化率，又或者物理和化學家計算物體的速度與反應速率，若將觀察人、物體的時間間隔不斷縮小再縮小，壓縮到趨近於0時，所記錄的數據經過計算後就能得到「瞬間變化率」。

本篇文章延續先前主軸，且分上、下兩篇。上篇將主旨聚焦於單一例子：「瞬時速度」，透過討論貓咪奔跑之實例，複習並計算平均速度之定義，在說明瞬時速度的觀念，最後進一步鋪成下篇的抽象微分概念。

一、從生活實例中思考瞬時速度

　　不論是大馬路上的車子呼嘯而過，又或者獅子穿越大草原狩獵，貓咪快速飛奔，等文字敘述都難以量化物體移動的程度，因此物理學家定義物體「位置對時間的變化率」為平均速度，讓物體移動的程度變成可算的數。

平均速度＝位置變化/時間變化

　　本文以用錄影機和電腦感應器，觀察並計算的一隻貓在直線跑道上的移動距離為例，為求方便，定義開始觀察的時間為「0」，單位可設為「秒」，若給定以下表格資訊（見下文），要如何定義第3秒時，位移對時間的瞬間變化率，或稱為第3秒貓咪的瞬時速度呢？

時間位置
(單位：s) （單位：m）
0.00 4.23
1.00 8.33
2.00 10.24
2.90 15.20
3.00 15.44
3.10 15.70
4.00 17.35

　　求瞬時速度前，需先回想平均變化率的定義，比如求0到3秒的平均速度，只要計算：

平均速度＝改變位置 / 改變時間 = 末位置-初位置 / 末時間-初時間
0至3秒平均速度=3秒位置-0秒位置/3秒-0秒
= (15.44-4.23)/3 = 3.736 (m/s)

　　但我們關心的是瞬時速度，而非平均速度，所以應將兩次觀察的時間間隔縮短，又本題要求第三秒的瞬時速度，故需將另一次觀察時間與第三秒間隔縮短。從0秒到3秒，變為2秒到3秒，終至計算2.90秒到3秒之平均速度，和3.1秒至3秒之平均速度，如此一來，時間間隔就從間隔3秒變為間隔0.1秒了：

2至3秒平均速度=3秒位置-2秒位置/3秒-2秒
=15.44-10.24/1=5.2 (m/s)

3至4秒平均速度=4秒位置-3秒位置/4秒-3秒
=17.35-15.44/1=1.91 (m/s)

2.9至3秒平均速度=3秒位置-2.9秒位置/3秒-2.9秒
=15.44-15.20/0.1=2.4(m/s)

3至3.1秒平均速度=3.1秒位置-3秒位置/3.1秒-3秒
=15.70-15.44/0.1=2.6(m/s)

　　經過以上計算，分別得到「（3秒前一秒）2到3秒」和「3秒至4秒(後一秒)」內的平均速度，此時的平均速度，尚離瞬時速度有點距離，而當計算2.9秒至3秒的平均速度：2.4(m/s)或是3至3.1秒的平均速度：2.6 (m/s)時，就已可作為3秒瞬時速度的不錯估算值了，所以我們可估計瞬時速度為兩者平均值：2.5(m/s)。

二、瞬時速度的定義

　　然真正的第3秒瞬時速度，根據物理學家定義：「若要求某物體在a時的瞬時速度需有兩次觀察物體位置。應將另一次觀察之時間與a時的間隔縮至趨近於0，或說，讓另一次觀察時間，趨近於a時，用此條件求得的平均速度之極限，就是平均速度的極限，或稱瞬時速度。」故3至3.1秒的平均速度仍不夠資格稱之為第三秒的瞬時速度。讀者可想像，由於兩次觀察間隔壓縮至極致趨近於0，根據數學定義，間隔時間與0要十分靠近，彼此距離小於任意正數，卻仍不等於0，但3與3.1秒仍隔了0.1秒。

　　換個角度看，另一次觀察的時間，因與第3秒的間隔十分短暫，如一眨眼間，所以理應非常靠近第3秒，或稱趨近於第3秒。此時讀者可想像計算2.999秒至3秒的平均速度，或是3.001秒至3秒的平均速度，就十分趨近於3秒的瞬時速度了，但須永遠記住，2.999、3.001秒仍與3秒差了0.001秒的距離，雖然兩者很靠近，但仍不是數學中趨近的定義。因此在靠近於3秒所做的任何觀察，皆非瞬時速度，只是逼近瞬時速度而已。因真正的瞬時速度要用先前介紹「趨近」的觀念，需用數學極限計算。

三、瞬時速度的本質是函數的極限

　　在此將上述文字敘述用數學式表達，已知當在第n秒觀察一隻貓咪時，永遠只對應到一個唯一位置，因此貓咪位置是時間的函數，令此函數稱f，且令自變數為時間，稱第x秒，應變數f(x)則表示位置（單位：m）。

　　因此第三秒的瞬時速度可以用函數極限表示並計算為：

這個數學式表示，當自變數時間x趨近於3，求f(x)-f(3)除以x-3之極限。f(x)-f(3)除以x-3是，貓咪位置變化量f(x)-f(3)除以時間變化量x-3，也就是x和3秒間的貓咪平均速度

　　其中第x秒是另一次觀察貓咪的時間，當x秒趨近於第3秒，求x至3秒間的平均速度之極限，稱為平均速度之極限是因f(x)表示貓咪在x秒時的位置，同理，f(3)表示貓在第3秒距離，而分母的x表示第x秒，3表示第3秒，因此這個數學式子的物理意義相當於：貓咪位置變化量f(x)-f(3)除以時間變化量x-3之極限，也就是x和3秒間的貓咪平均速度的極限，根據物理學家定義，這才是真正第三秒的瞬時速度。

四、小結：生活實例只是數學規則的倒影

　　本文用「縮短觀察時間間隔」來說明「瞬間變化率」，只是單一的生活實例，數學家想要追求的卻是一切現實現象背後，所隱藏的一種通用、精準、且清晰明瞭的規則與真理，這些生活實例，用文學來比喻：數學規則在物質世界的倒影，並不能算是真正的實體，就如我們不會認為鏡子裡反射的人、事、物是真實的一樣，因此不能單單了解這些實例，而是從這些實例出發，找出一條式子或一個定理，或一樣理論。數學家以現實現象為出發點，能定義出「微分」涵蓋所有「瞬間變化率」的計算。故在下篇文章中，我們就能掌握數學中「微分」的抽象定義。

即將進入廣告，捲動後可繼續閱讀

為什麼會看到廣告

119會員

31內容數

由於學校上課時間有限，老師礙於進度壓力，時常無法慢慢一步步地帶領學生思考和理解數學中的觀念，而是倉促講解完概念後，開始進入計算解題。然而數學不單是計算而已，數學真正的精髓卻是在於背後觀念中，邏輯的推演與歸納。也因此期盼透過本專題的數學科普文，能幫助讀者看見數學的美，並提升讀者的思考、推理邏輯能力。

留言0

查看全部

發表第一個留言支持創作者！

Caspar的沙龍的其他內容

從生活認識微積分（八）「瞬時」與「平均」變化率

在前幾篇文章中，透過許多生活例子，如：經過幾分後，計算火鍋湯溫度對時間的平均變化率；又或者計算植物的平均生長速度，讓讀者了解，斜率是由兩個變量相除計算而來，對於「斜率」有深刻了解。此篇文章則將帶領讀者，由生活中的時間間隔，進一步思考「瞬時」與「平均」變化率之間的差異。

#瞬時速度 #瞬時加速度 #瞬時反應速率

從生活認識微積分（六）：斜率的幾何意義（中）

你曾有燒開水或煮火鍋的經驗嗎？如果將開水或湯的溫度，過一段時間後，測量兩次後畫在紙上，就可以計算兩點間的斜率，本文將從燒開水的生活經驗切入，探討上篇中沒有探討的遞增型斜率，並總結正、負斜率的幾何意義，

#斜率 #數學 #國中數學

從生活認識微積分（五）：斜率的幾何意義（上）

在上文透過探討生活中變化率，延伸到數學中兩點斜率公式。本文將以另一個角度切入，分上、下兩篇詮釋數學斜率的幾何意義，上篇將從日常生活中的斜坡與剖面圖，引入直線、斜率，直角座標平面，從圖形解釋兩點斜率的基本幾何意義。

#斜率 #遞減 #斜坡

從生活認識微積分（四）：變化與斜率

這是微積分科普系列文章的第四篇，在討論微分律之前，讀者需先認識斜率的定義，並能區分平均與瞬時變化率的差異。因為微分律由導數推衍而來，而導數即是求函數圖形上，某一點的切線斜率。本文從生活中的變化講起，提出變化率的計算方式，與數學中斜率的定義。

#斜率 #斜率的定義 #變化率

從生活認識微積分（三）：極限與無窮的定義

這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」

#無限大 #無限小 #極限定義

從生活認識微積分（二）：什麼是「極限」？

這是微積分科普系列文章的第二篇，本文將以生活情境向你解釋「靠近」的概念，了解趨近的含義後，再說明如何用數學語言表示極限，並讓讀者透過直覺的函數圖形和計算，了解函數極限的意義，最後引導讀者思考、提出質疑，更加嚴格的函數極限定義，應符合哪些要求。

#極限 #趨近 #靠近