方格精選
中學以下的素養教育與經驗談：國二上數學篇──乘法公式與二次方根（上）
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
恭喜各位同學進入國中二年級，或者說要恭喜家長，小孩終於進入正規課程了。就跟高一會有銜接課程，大學也有一樣，國一課程基本上也算是有很強烈的銜接意味，但也有不少打底的意思。這也代表，各種綜合運用的技術會在國二的課程中出現。
就先從數學開始，國二上的數學內容，分為「乘法公式」、「二次方根」、「因式分解」、「一元二次方程式」。後面兩個算同一組，所以這節我們先談前面兩部分。
乘法公式顧名思義就是公式，二次方根是工具，如果要純粹以過關的角度來看，這蠻簡單的。但若我們想要把眼光放遠點，則乘法公式跟二次方根可以說是後面數理的基礎，只求過關死背跟活用理解，到國三的落差會很大。
乘法公式：分配律是基礎
（a+b）×（c+d）＝ac+ad+bc+bd
也就是，把兩組數字的前後項，各標為第1項跟第2項，那麼應該列出的順序是11+12+21+22。為何說順序不能錯？改成實際題目，各位師長應該就會發現會出什麼問題。
把分配順序對調，不會有什麼差，如下：
各位有沒發現，這不是降冪排列，國二的多項式不會遇到三次方，項數也沒太多，所以亂乘一通也還好，但這習慣若保留到後面，就會出現項數太多，排列不整齊，導致漏東漏西的錯誤。所以筆者才說，一定要要求分配律照順序，最好是降冪排列的展開，日後會比較輕鬆。
只背公式不理解分配律，是最常見的問題
分配律運作正確，乘法公式的問題，看起來會很像用背的，這三個公式如下，各位家長應該都會。
- 和平方：（a+b）^2＝a^2＋2ab＋b^2
- 差平方：（a－b）^2＝a^2－2ab＋b^2
- 平方差：a^2－b^2＝（a+b）╳（a－b）
好了，這邊要解釋，常見的錯誤跟壞習慣在哪裡。常錯的地方，倒不是公式背不熟，而是公式背太熟，熟到只會代公式，完全忘記乘法公式是一種分配律展開，所以當題目跟公式對不上，或是要稍微變化的時候，整個就昏頭了。
下面稍微展開平方公式，解釋給各位家長聽：
以上這兩個是沒有差的吧？但對不少學生來說，明明上下兩個完全一樣的和平方展開，卻是不一樣的東西，原因出在記憶公式的學生，採取的是「記形狀」，也就是他腦袋瓜的公式長以下這樣：
這其實很常見，對這類同學來講，代數很難理解，所以會先記得數字。請師長別以為筆者在找麻煩，通常數學成績在一半以後的，這類人「真的很多」。這也就導致把公式換成下面那種，他眼中看到的是：
當然會昏，覺得這哪裡一樣？
差平方也類似，解決辦法不是狂練題目，是要他重頭開始，把分配律的過程好好做一次。
和平方與差平方：依分配律順序，搞懂公式中的2ab從何而來
但不建議給(a+b)^2去一直死背，建議給題目，手把手像是對小學生的帶法，幫助他重新建立順序的概念。
簡單說就是從最基本的，改數字練個三五題，讓他發現那個2ab是怎麼來的。接下去再把題目倒過來練三題：
讓同學去想起，中間的2ab要怎樣拆出來，就是看到一次項，把參數除2。到了這一步，如果學生基本上都沒太大問題，那麼就可以進到中間的2╳X變成2ab，也就是非整數讓學生去寫。等到這些都好了，那就可以把題目改成：
讓他去想，分配律出來的是降冪排列，那麼要還原也該先把它排回去，一旦可以想到此點，並能排好反套公式得回(x+1)^2，那就算大功告成。可以說他的筋脈被打通，可以練功了。
筆者的經驗是，程度還可以的學生，的確可以透過大量反覆的練習，練到想通上面的概念，但大概中間一半左右的，就開始沒辦法。若沒有帶著做，很可能會讓學生痛苦到放棄。
這筆者尤其要跟家長再三提醒，萬一你家孩子就真的不是數學這塊料，或真的之前底子不好，那麼遇到這種「套公式而已這麼簡單你怎麼不會」的狀況，請先檢視看看，他到底是哪邊不會。
個人的案例是，多半出在對分配律的降冪排列完全不理解，以及公式沒有實際照著好好練兩次，學校趕進度下只記得那個形式，就開始練題目。
平方差：一步一步練習，拆解步驟才不會搞混
第三個平方差，這是很極端的公式，依照經驗碰到的，有的學生對平方差超容易上手，左邊到右邊、右邊回左邊，完全沒障礙，但也有的學生老跟差平方弄混，怎樣都混在一起，痛苦萬分。
會出這種問題，也是因為沒有照著分配律去做的緣故，這邊要稍微得罪一下學校數學老師，以前在補習班遇到學生的平方差障礙，大多是老師帶太快，「練習題」沒時間練。個人都建議，留下學習單的時間，上課帶著做，最後五分鐘，花時間在黑板上，用最基本的分配律，把題目重新演示一次，以下拆解步驟給家長看，便於在家發掘問題後解決：
就是這樣，別以為這很蠢，筆者說過一半的程度，代表台灣有一半的學生，遇到平方差的問題，很多都出在沒弄清楚分配律，就跟差平方搞混了。這拚命背公式，罰寫一百遍，都遠遠不如帶著5分鐘過去。
然後，非常重要的Step 4，請家長出任何平方差展開題目一題，看著學生一步步寫出來，步驟絕對不能跳躍。
等到確定不會弄錯，在多練幾題，左邊到右邊、右邊回左邊，這具體一點講給家長聽就是以下的形式：
真的，別懷疑，有學生就是反過來看不懂。個人經驗上，這多是分配律沒有徹底練好的結果。
不過，筆者也見過不少例子，是在安親班、補習班，太早把公式背熟，背得太熟之後，反而忘了這是分配律，考試只想帶題目，忘記了其實最笨的方法「展開」，比找公式代還快。
這邊的應用題，嗯……
坦白說沒辦法這樣解釋，因為都太吃題目的敘述法，而且學校考試為了配合乘法公式，題型非常固定。若要用題型練功力，效果反而適得其反，一般參考書的題目就很夠練了，沒必要額外出題。真要問筆者的建議，那大概就是基礎打好，再去看有敘述跟圖形等的應用題。
畢竟，連乘法公式都寫不出的，應用題會寫很好的例子，幾乎沒遇到過。
為什麼會看到廣告
留言0
查看全部
你可能也想看
Google News 追蹤
在創作的路上真的很多人問我說
到底要怎麼做出符合自己期待
但又可以表現得很有美感的作品？🥹
這個問題真的應該是每個創作者都一直在學習的課題吧！
提問的內容越是清晰，強者、聰明人越能在短時間內做判斷、給出精準的建議，他們會對你產生「好印象」，認定你是「積極」的人，有機會、好人脈會不自覺地想引薦給你
常常遊走在酒吧、夜店、酒館...等等，那些平時大家覺得會遇到的地方，很少有不錯的潛在對象。就我在美國這幾年與之後的朋友圈來看，各方面都很優秀的男生非常少去那些場所，他們更常去爬山、上健身房、吃tacos、甚至是去桌遊店...
party像是他們的全職工作，把糜爛生活和喝到爛醉當作是自己認識人脈的藉口。幾乎每個晚上都有聚會行程，不是在夜店就是在某些莫名其妙的會所裡面當人形背景。他們把這種糜爛的生活、喝得爛醉視為一種社交成就，還總是對外炫耀：「認識很多人脈，這都是為了事業鋪路」女生這時候會覺得這樣很帥而且為他們找藉口…
1. 過度依賴標準答案，缺乏對「錯誤」的認知能力：
- 很多碩博士生在學習時只專注於追求「正確答案」，往往在測驗中表現優異，甚至能輕鬆應對論文考核，但卻缺少反思的深度，對於正確答案背後潛藏的錯誤缺乏敏感度。這些學生熟練於背誦與模仿，卻無法深入理解或挑戰已有的知識體系。長期下來，他們往
1. 過度依賴他人的解法，忽略自主探索與實踐：
- 許多研究生在進行專題或研究時，傾向花大量時間搜尋「最佳解法」或仿效前人的經驗。然而，這些方法往往是為了他人的需求或特定情境設計，未必適用於自己。長期依賴外部的方案會讓學生缺乏主動性，無法培養自我探索的能力。真正適合自己的解法，需要透
1. 忽視時間管理，導致講座進度失控
許多博士生在準備講座時，未能合理分配各個環節的時間，結果在講座進行中出現時間超支或不足的情況。例如，演講部分可能過於冗長，佔用了原本留給討論的時間，或是整個講座結束得比預期早，讓聽眾感到意猶未盡。這種對時間掌控的失誤，會影響聽眾的體驗和對講座的評價。
在創作的路上真的很多人問我說
到底要怎麼做出符合自己期待
但又可以表現得很有美感的作品？🥹
這個問題真的應該是每個創作者都一直在學習的課題吧！
提問的內容越是清晰，強者、聰明人越能在短時間內做判斷、給出精準的建議，他們會對你產生「好印象」，認定你是「積極」的人，有機會、好人脈會不自覺地想引薦給你
常常遊走在酒吧、夜店、酒館...等等，那些平時大家覺得會遇到的地方，很少有不錯的潛在對象。就我在美國這幾年與之後的朋友圈來看，各方面都很優秀的男生非常少去那些場所，他們更常去爬山、上健身房、吃tacos、甚至是去桌遊店...
party像是他們的全職工作，把糜爛生活和喝到爛醉當作是自己認識人脈的藉口。幾乎每個晚上都有聚會行程，不是在夜店就是在某些莫名其妙的會所裡面當人形背景。他們把這種糜爛的生活、喝得爛醉視為一種社交成就，還總是對外炫耀：「認識很多人脈，這都是為了事業鋪路」女生這時候會覺得這樣很帥而且為他們找藉口…
1. 過度依賴標準答案，缺乏對「錯誤」的認知能力：
- 很多碩博士生在學習時只專注於追求「正確答案」，往往在測驗中表現優異，甚至能輕鬆應對論文考核，但卻缺少反思的深度，對於正確答案背後潛藏的錯誤缺乏敏感度。這些學生熟練於背誦與模仿，卻無法深入理解或挑戰已有的知識體系。長期下來，他們往
1. 過度依賴他人的解法，忽略自主探索與實踐：
- 許多研究生在進行專題或研究時，傾向花大量時間搜尋「最佳解法」或仿效前人的經驗。然而，這些方法往往是為了他人的需求或特定情境設計，未必適用於自己。長期依賴外部的方案會讓學生缺乏主動性，無法培養自我探索的能力。真正適合自己的解法，需要透
1. 忽視時間管理，導致講座進度失控
許多博士生在準備講座時，未能合理分配各個環節的時間，結果在講座進行中出現時間超支或不足的情況。例如，演講部分可能過於冗長，佔用了原本留給討論的時間，或是整個講座結束得比預期早，讓聽眾感到意猶未盡。這種對時間掌控的失誤，會影響聽眾的體驗和對講座的評價。